Riassunto - Logica - INPS 1695 Funzionari PECS

La Logica non e' una materia di contenuto: non ci sono nozioni da memorizzare, non c'e' una normativa da ripassare. E' una materia attitudinale, cioe' una materia che misura una procedura mentale. Il quesito non chiede che cosa sai, chiede se riesci a riconoscere la struttura di un problema e ad applicare in pochi secondi la manovra corretta. Questo cambia radicalmente il metodo di studio: rileggere una regola dieci volte non serve quasi a nulla, mentre svolgere venti quesiti dello stesso tipo fino a riconoscerne l'impianto a colpo d'occhio serve moltissimo.

Nel concorso INPS per 1.695 Funzionari PECS la Logica entra soprattutto nella eventuale prova preselettiva prevista dall'art. 6 del bando, quella che si tiene solo se le domande superano le quattromila. La preselettiva e' composta da 60 quesiti a risposta multipla distribuiti su piu' aree: logica, comprensione e ragionamento verbale, inglese, competenze informatiche, cultura generale. Ai fini pratici occorre tenere fisso in testa un dato che orienta tutta la strategia: il punteggio della preselettiva non entra nella graduatoria finale. E' una fase di puro sbarramento. Chi passa con il punteggio minimo e chi passa con il punteggio massimo arrivano alla prova scritta esattamente nella stessa posizione. Ne discende una conseguenza operativa che ripeteremo nel capitolo finale: in preselettiva l'obiettivo e' passare, non massimizzare.

La Logica pero' non sparisce dopo la preselettiva. La prova scritta dell'art. 7, in trentesimi e articolata in due sezioni - analisi di testi tecnico-giuridici e analisi di casi situazionali con contenuti operativi - richiede esattamente le stesse abilita' nella loro versione applicata: capire che cosa una norma implica e che cosa invece non dice, distinguere una premessa da una conclusione, non confondere una condizione necessaria con una condizione sufficiente. Chi allena bene la logica formale trova nella scritta un vantaggio silenzioso.

2.1 Il metodo generale: prima le differenze, poi i rapporti

Una serie numerica e' una sequenza di numeri costruita secondo una regola nascosta; il quesito chiede il termine mancante. Non esiste un modo per "vedere" la regola per intuizione pura: esiste una scaletta di controlli da fare sempre nello stesso ordine, che risolve la larghissima maggioranza dei casi in meno di venti secondi.

Il primo controllo e' quello delle differenze: si calcola quanto vale ogni termine meno il precedente. Se le differenze sono costanti, la serie e' aritmetica e il gioco e' finito. Se le differenze non sono costanti ma formano a loro volta una sequenza regolare, siamo davanti a una serie "a differenze crescenti" e basta proseguire quella seconda sequenza. Il secondo controllo, da fare solo se il primo fallisce e specialmente quando i numeri crescono in fretta, e' quello dei rapporti: ogni termine diviso il precedente. Se il rapporto e' costante la serie e' geometrica. Il terzo controllo scatta quando la serie sale e scende in modo irregolare: si sospetta l'alternanza, cioe' due serie intrecciate, e si guardano separatamente i termini di posto dispari e quelli di posto pari. Il quarto controllo, residuale, e' quello dei numeri figurati: quadrati, cubi, numeri primi, fattoriali, eventualmente aumentati o diminuiti di una costante.

2.2 Esempi svolti

Quesito. Completare: 3, 6, 12, 24, ?  (A) 30  (B) 36  (C) 48  (D) 42

Svolgimento. Differenze: 3, 6, 12. Non sono costanti, ma raddoppiano - gia' questo e' un indizio forte. Passo ai rapporti: 6/3 = 2, 12/6 = 2, 24/12 = 2. Rapporto costante 2, serie geometrica. Il termine mancante e' 24 x 2 = 48, risposta C. Si noti come sono costruiti i distrattori: 30 e 42 nascono dall'ipotesi sbagliata "differenza costante" (rispettivamente +6 e +18, cioe' ripetere l'ultima differenza o una via di mezzo), mentre 36 e' 24 + 12, cioe' l'errore di chi applica ancora l'ultima differenza vista invece di accorgersi che la differenza stessa raddoppia. Il distrattore che ripete l'ultima differenza e' il piu' frequente in assoluto nelle serie geometriche.

Quesito. Completare: 2, 5, 11, 23, ?  (A) 35  (B) 46  (C) 47  (D) 45

Svolgimento. Differenze: 3, 6, 12 - raddoppiano. Rapporti: 2,5 poi 2,2 poi 2,09 - non costanti, quindi non e' geometrica pura. Provo la regola composta "x 2 e poi + 1": 2 x 2 + 1 = 5, corretto; 5 x 2 + 1 = 11, corretto; 11 x 2 + 1 = 23, corretto. Allora 23 x 2 + 1 = 47, risposta C. Qui il distrattore da battere e' 46, che e' il semplice raddoppio: cattura chi vede la struttura moltiplicativa ma trascura il "+1". Quando una serie e' "quasi geometrica" - i rapporti si avvicinano a un intero senza esserlo - il sospetto immediato deve essere una regola a due passi, del tipo moltiplica e poi somma una costante.

Quesito. Completare: 4, 9, 7, 12, 10, ?  (A) 8  (B) 15  (C) 13  (D) 14

Svolgimento. Le differenze sono +5, -2, +5, -2: alternanza di due operazioni. Dopo il -2 che ha prodotto 10 tocca al +5, quindi 15, risposta B. In alternativa si leggono le due sottoserie: posti dispari 4, 7, 10 (passo +3) e posti pari 9, 12 (passo +3); il termine cercato e' il terzo della serie pari, cioe' 15. Le due letture devono coincidere sempre, ed e' un ottimo controllo gratuito. Il distrattore 8 e' costruito su chi legge l'alternanza al contrario e applica -2.

Quesito. Completare: 1, 4, 9, 16, 25, ?  (A) 30  (B) 36  (C) 35  (D) 49

Svolgimento. Sono i quadrati dei primi numeri naturali: 1², 2², 3², 4², 5². Il successivo e' 6² = 36, risposta B. Il distrattore 49 e' il quadrato successivo ancora (7²) e cattura chi salta un posto; 35 nasce dal ripetere l'ultima differenza (+10 invece di +11), perche' nelle serie di quadrati le differenze crescono di due in due: 3, 5, 7, 9, 11. Conviene tenere a memoria i quadrati fino a 20 e i cubi fino a 10: e' l'unico "ripasso mnemonico" davvero redditizio in logica numerica.

2.3 Serie alfabetiche

Nelle serie alfabetiche le lettere sono solo numeri travestiti. La manovra e' sempre la stessa: si sostituisce ogni lettera con la sua posizione nell'alfabeto, si risolve la serie numerica risultante, si ritraduce in lettera. L'unico vero rischio e' quale alfabeto usare: quello italiano ha 21 lettere e non contiene J, K, W, X, Y; quello internazionale ne ha 26 e le contiene. Se nella sequenza proposta compare una di quelle cinque lettere, l'alfabeto e' certamente quello a 26; altrimenti conviene provare prima l'italiano e, se non torna, ripetere con l'internazionale. Un quesito ben costruito e' coerente e la verifica costa pochi secondi.

Quesito. Completare: B, D, G, M, ?  (alfabeto italiano di 21 lettere)  (A) N  (B) P  (C) R  (D) Q

Svolgimento. La prima mossa e' dichiarare l'alfabeto che si usa, perche' da quello dipende ogni conteggio successivo. Qui la consegna lo dice esplicitamente: alfabeto italiano, 21 lettere, quindi senza J, K, W, X, Y. Scriviamo la scala completa e contiamo una posizione alla volta, senza andare a memoria: A=1, B=2, C=3, D=4, E=5, F=6, G=7, H=8, I=9, L=10, M=11, N=12, O=13, P=14, Q=15, R=16, S=17, T=18, U=19, V=20, Z=21.

Traduciamo la serie: B=2, D=4, G=7, M=11. Le differenze sono 4-2 = +2, 7-4 = +3, 11-7 = +4: non sono costanti, ma crescono di uno in uno, quindi siamo davanti a una serie a differenze crescenti e il passo successivo e' +5. Il termine mancante vale 11 + 5 = 16, e la sedicesima lettera dell'alfabeto italiano e' R: risposta C. Vale la pena ricontare l'ultimo tratto per sicurezza - M=11, N=12, O=13, P=14, Q=15, R=16 - perche' l'errore tipico in questa famiglia non e' sbagliare la regola, e' sbagliare di una posizione nel ritradurre il numero in lettera. Si osservi anche come sono costruite le altre opzioni: N=12 e' il risultato di chi ripete l'ultima differenza vista (+1 invece di +5, cioe' chi confonde la sequenza delle differenze con la sequenza dei termini), P=14 nasce dal riapplicare +3 e Q=15 dal riapplicare +4, cioe' dall'ipotesi errata che il passo sia rimasto quello precedente.

Se lo stesso quesito venisse proposto con l'alfabeto internazionale di 26 lettere il risultato cambierebbe, ed e' proprio per questo che l'alfabeto va deciso all'inizio: li' avremmo B=2, D=4, G=7, M=13, con differenze +2, +3, +6, cioe' una serie che non e' piu' regolare. La conclusione operativa e': se la traduzione numerica non produce un andamento riconoscibile, la prima cosa da sospettare non e' una regola esotica ma l'alfabeto sbagliato, e conviene ripetere il conteggio con l'altro prima di ogni altra ipotesi. Se nella sequenza compare una tra J, K, W, X, Y l'alfabeto e' necessariamente quello a 26 lettere e la questione e' chiusa in partenza.

Due varianti ricorrenti meritano attenzione. La prima e' la serie a coppie (AC, BD, CE...), dove le due lettere di ciascuna coppia hanno una distanza fissa e ogni coppia avanza di un posto: si tratta di due serie parallele. La seconda e' la serie circolare, in cui si supera la fine dell'alfabeto e si riparte dall'inizio: se sommando il passo si va oltre 21 (o 26), si sottrae 21 (o 26) e si prosegue.

3.1 Validita' non e' verita'

Un sillogismo categorico e' un ragionamento composto da due premesse e una conclusione, in cui compaiono tre termini e si usano i quantificatori "tutti", "nessuno", "alcuni". Il concetto che va afferrato prima di ogni tecnica e' la distinzione tra validita' e verita'. Un ragionamento e' valido se la conclusione discende necessariamente dalle premesse, indipendentemente dal fatto che le premesse siano vere nel mondo reale. Un enunciato e' vero se corrisponde ai fatti. Le due cose sono indipendenti: esistono ragionamenti validi con premesse false e conclusioni false, ed esistono ragionamenti invalidi che per caso arrivano a una conclusione vera.

Questa distinzione e' esattamente cio' che i quesiti sfruttano per ingannare. La consegna tipica e' "assumendo vere le premesse, quale conclusione segue necessariamente?". Il candidato che risponde usando la propria conoscenza del mondo invece che la struttura del ragionamento sbaglia. Se le premesse dicono "tutti i gatti sono verdi" e "tutti gli esseri verdi volano", la conclusione che segue necessariamente e' "tutti i gatti volano", per quanto assurda. La regola pratica e': sospendere il buon senso e trattare le premesse come dati.

3.2 I quattro enunciati e la loro negazione

Bisogna avere perfettamente chiaro che cosa afferma ciascun quantificatore e - punto molto piu' insidioso - quale sia la sua negazione corretta.

• Tutti gli A sono B. Afferma che l'insieme A e' interamente contenuto in B. Non afferma nulla su cio' che sta in B fuori da A. La sua negazione non e' "nessun A e' B", ma "almeno un A non e' B": per smentire "tutti i funzionari sono laureati" basta esibire un solo funzionario non laureato, non serve dimostrare che nessuno lo sia. Questo e' l'errore piu' comune in assoluto nei quesiti sulle negazioni.
• Nessun A e' B. Afferma che A e B non hanno alcun elemento in comune. La sua negazione e' "almeno un A e' B".
• Alcuni A sono B. In logica "alcuni" significa "almeno uno", e non esclude "tutti": se tutti i funzionari sono laureati, e' vero anche che alcuni funzionari sono laureati. Nel linguaggio comune "alcuni" suggerisce "alcuni si' e altri no", ma questa sfumatura non vale nel quesito. La negazione di "alcuni A sono B" e' "nessun A e' B".
• Alcuni A non sono B. Afferma che almeno un elemento di A sta fuori da B. La sua negazione e' "tutti gli A sono B".

3.3 Le conversioni lecite e quelle illecite

La conversione consiste nello scambiare soggetto e predicato di un enunciato. Alcune conversioni conservano la verita', altre no, e distinguerle risolve molti quesiti.

"Nessun A e' B" si converte liberamente in "nessun B e' A": se i due insiemi non si toccano, non si toccano in nessuna direzione. Anche "alcuni A sono B" si converte in "alcuni B sono A": se esiste un elemento in comune, esso appartiene a entrambi gli insiemi. Ma "tutti gli A sono B" NON si converte in "tutti i B sono A". Questa e' la cosiddetta conversione illecita dell'universale affermativa ed e' la trappola numero uno dei sillogismi. Da "tutti i dipendenti INPS sono dipendenti pubblici" non segue affatto "tutti i dipendenti pubblici sono dipendenti INPS". Cio' che segue legittimamente e' solo la forma indebolita "alcuni B sono A", cioe' "alcuni dipendenti pubblici sono dipendenti INPS". Infine, "alcuni A non sono B" non si converte affatto: da "alcuni animali non sono cani" non segue "alcuni cani non sono animali".

3.4 Esempi svolti

Quesito. Premesse: "Tutti i revisori sono contabili" e "Alcuni contabili sono romani". Quale conclusione segue necessariamente? (A) Alcuni revisori sono romani (B) Alcuni romani sono contabili (C) Nessun revisore e' romano (D) Tutti i contabili sono revisori

Svolgimento. La B e' la semplice conversione lecita della seconda premessa - "alcuni contabili sono romani" implica "alcuni romani sono contabili" - ed e' quindi certamente vera: risposta B. La A e' il distrattore forte, perche' e' quello che la mente costruisce spontaneamente incatenando le premesse; ma i "contabili romani" della seconda premessa potrebbero essere tutti contabili non revisori, quindi la conclusione e' possibile ma non necessaria. La C afferma il contrario ed e' altrettanto non necessaria. La D e' la conversione illecita di "tutti i revisori sono contabili". Regola d'oro: da due premesse in cui almeno una e' particolare ("alcuni") non si puo' ricavare una conclusione universale ("tutti", "nessuno"), e da due premesse entrambe particolari non si ricava nulla.

Quesito. Premesse: "Nessun ispettore e' distratto", "Tutti i distratti commettono errori" e "Alcuni dipendenti sono distratti". Che cosa segue? (A) Nessun ispettore commette errori (B) Tutti gli ispettori commettono errori (C) Alcuni che commettono errori non sono ispettori (D) Nulla di quanto sopra segue necessariamente

Svolgimento. La A e' la tentazione naturale: se gli ispettori non sono distratti e i distratti sbagliano, verrebbe da concludere che gli ispettori non sbagliano. Ma questo e' un salto illegittimo: essere distratti e' una causa di errore, nulla vieta che un ispettore sbagli per altri motivi. Le premesse non dicono che solo i distratti commettono errori. La B non segue per lo stesso tipo di ragione. La C invece segue, e per vederlo basta seguire la catena: la premessa "alcuni dipendenti sono distratti" ci garantisce che almeno una persona distratta esiste; quella persona, per la seconda premessa, commette errori; e per la prima premessa non e' un ispettore. Esiste dunque almeno qualcuno che commette errori senza essere ispettore. La risposta e' C. Si noti che questa deduzione ha bisogno di sapere che i distratti esistono davvero: e' esattamente per questo che la premessa "alcuni dipendenti sono distratti" e' stata inserita nel testo del quesito. Se mancasse, dalle sole due premesse universali non seguirebbe nulla, perche' "nessun ispettore e' distratto" e "tutti i distratti commettono errori" sono entrambe vere anche in un mondo in cui di distratti non ce n'e' nemmeno uno. Quando in un quesito compare un "alcuni", conviene chiedersi sempre a che cosa serve: quasi mai e' decorativo, quasi sempre e' l'ingrediente che rende deducibile una conclusione particolare.

4.1 Che cosa dice davvero "se A allora B"

L'enunciato condizionale "se A allora B" - dove A si chiama antecedente e B conseguente - afferma una cosa sola: non puo' accadere che A sia vero e B falso. Detto altrimenti: A e' condizione sufficiente per B, e B e' condizione necessaria per A. Una condizione e' sufficiente quando basta a garantire l'altra; e' necessaria quando senza di essa l'altra non puo' verificarsi. Confondere le due e' l'errore piu' costoso dell'intera preselezione, e riguarda anche la lettura delle norme nella prova scritta: "chi ha almeno tre anni di servizio puo' accedere" non dice che chiunque acceda abbia tre anni di servizio.

Da "se A allora B" derivano tre enunciati diversi, e solo uno e' logicamente equivalente all'originale.

• La contronominale (o contrapposta) e' "se non B allora non A": si negano entrambi i termini e si scambiano. Questa e' sempre equivalente all'originale ed e' lo strumento piu' potente che avete. Se e' vero che "se piove, la strada e' bagnata", allora e' vero che "se la strada non e' bagnata, non piove".
• L'inverso e' "se non A allora non B": si negano i termini senza scambiarli. Non e' equivalente. Da "se piove la strada e' bagnata" non segue "se non piove la strada non e' bagnata" - potrebbe essere passata l'autobotte.
• Il converso e' "se B allora A": si scambiano i termini senza negarli. Non e' equivalente. Da "se piove la strada e' bagnata" non segue "se la strada e' bagnata allora piove".

4.2 Le due deduzioni valide e i due errori classici

Dato "se A allora B", esistono esattamente due mosse valide. La prima e' il modus ponens: se so che A e' vero, concludo che B e' vero. La seconda e' il modus tollens: se so che B e' falso, concludo che A e' falso - ed e' semplicemente la contronominale usata in avanti. Tutto il resto e' errore.

Il primo errore si chiama affermazione del conseguente: sapere che B e' vero e concluderne che A e' vero. E' invalido perche' B puo' essere prodotto da mille cause diverse da A. Il secondo si chiama negazione dell'antecedente: sapere che A e' falso e concluderne che B e' falso. E' invalido per la stessa ragione. Vale la pena imparare a memoria lo schema riassuntivo, perche' e' letteralmente un algoritmo: so A vero → concludo B; so B falso → concludo non A; so B vero → non concludo nulla; so A falso → non concludo nulla.

Quesito. "Se una domanda e' incompleta, viene respinta." Sappiamo che la domanda di Rossi e' stata respinta. Che cosa segue? (A) La domanda di Rossi era incompleta (B) La domanda di Rossi era completa (C) Nulla di certo sulla completezza della domanda di Rossi (D) Rossi non ha presentato domanda

Svolgimento. Sappiamo che il conseguente ("viene respinta") e' vero. Siamo nel caso "so B vero", dal quale non si conclude nulla: la domanda potrebbe essere stata respinta per tardivita', per difetto di requisiti, per qualunque altro motivo. La risposta e' C. La A e' esattamente l'affermazione del conseguente ed e' costruita per essere il distrattore piu' scelto: il cervello legge il condizionale come se fosse un "se e solo se", cioe' una biimplicazione, che invece afferma che i due enunciati stanno o cadono insieme. Ogni volta che siete tentati di rispondere "allora era incompleta", chiedetevi: il testo ha detto che quella e' l'unica causa? Se non l'ha detto, la risposta e' "nulla di certo".

Quesito. "Tutti i candidati ammessi hanno superato la preselettiva." Marco non ha superato la preselettiva. Che cosa segue? (A) Marco non e' ammesso (B) Marco e' ammesso (C) Marco potrebbe essere ammesso (D) Nulla

Svolgimento. Riscriviamo l'universale in forma condizionale, cosa che conviene fare sempre: "se ammesso, allora ha superato la preselettiva". Sappiamo che il conseguente e' falso. Siamo nel modus tollens, deduzione valida: quindi l'antecedente e' falso, Marco non e' ammesso, risposta A. Si osservi che la stessa informazione, letta con il "se A allora B" tenuto in testa, si risolve in tre secondi, mentre affrontata a intuito produce esitazione.

4.3 Tradurre "solo se", "a meno che", "nessuno tranne"

Molti quesiti sono difficili non per il ragionamento ma per la formulazione. Conviene avere pronte le traduzioni. "A solo se B" significa "se A allora B" - il "solo se" introduce la condizione necessaria, non quella sufficiente, ed e' l'esatto rovescio di quello che l'orecchio suggerisce. "A a meno che B" significa "se non B allora A". "Nessuno tranne i B sono A" significa "se A allora B". "Basta A per B" significa "se A allora B", mentre "serve A per B" significa "se B allora A". Sbagliare la traduzione iniziale rende inutile ogni ragionamento successivo, per questo la traduzione va scritta a margine del foglio prima di guardare le opzioni.

5.1 La tabella a doppia entrata

I problemi di incastro forniscono un insieme di soggetti (persone) e uno o piu' insiemi di attributi (professioni, citta', colori, posti a sedere) e una lista di vincoli, e chiedono di ricostruire l'abbinamento completo o di rispondere a una domanda parziale. Sembrano lunghi e spesso vengono saltati, ma sono tra i quesiti piu' affidabili: se si applica il metodo, la risposta e' certa, mentre in altre famiglie resta un margine di dubbio.

Il metodo e' la tabella a doppia entrata: si disegna una griglia con i soggetti sulle righe e gli attributi sulle colonne, e si segnano le esclusioni con una X e le certezze con un segno di spunta. La regola d'oro e': quando si mette una certezza, si escludono immediatamente tutta la riga e tutta la colonna corrispondenti, perche' un soggetto ha un solo attributo e un attributo appartiene a un solo soggetto. La seconda regola e' che quando in una riga (o in una colonna) resta una sola casella non barrata, quella e' una certezza e va spuntata, propagando a sua volta.

Prima di riempire la griglia bisogna tradurre i vincoli. Conviene distinguere i vincoli negativi ("Anna non e' la contabile"), che si scrivono subito come X ed e' da questi che si parte, dai vincoli relazionali ("il contabile siede alla destra dell'ispettore"), che non si scrivono nella griglia ma vanno tenuti a parte e usati per l'incrocio finale. Un errore tipico e' cercare di partire dai vincoli positivi complessi: si parte sempre dalle esclusioni secche, che sono gratuite.

5.2 Esempio svolto

Quesito. Anna, Bruno e Carla svolgono, in ordine non noto, le professioni di ispettore, contabile e archivista, e vivono uno a Roma, uno a Milano e uno a Napoli (uno per citta'). Sappiamo che: (1) Anna non e' la contabile; (2) chi vive a Roma e' l'archivista; (3) Bruno vive a Milano; (4) Carla non e' l'ispettore; (5) Anna non vive a Napoli. Chi vive a Roma e che professione svolge ciascuno?

Svolgimento. Si costruiscono due griglie, una persona-citta' e una persona-professione, e si comincia sempre dai vincoli che sono gia' certezze o esclusioni secche, mai da quelli complessi.

Partiamo dalle citta', perche' li' abbiamo l'informazione piu' forte. Il vincolo (3) e' una certezza: Bruno sta a Milano, e per la regola della propagazione questo esclude Bruno da Roma e da Napoli, ed esclude Anna e Carla da Milano. Restano dunque Roma e Napoli da assegnare ad Anna e Carla. Interviene il vincolo (5): Anna non vive a Napoli. Nella riga di Anna resta allora una sola casella non barrata, Roma, e quella e' una certezza: Anna vive a Roma. Propagando, la colonna Roma e' chiusa e a Carla non resta che Napoli. La mappa geografica e' completa: Anna a Roma, Bruno a Milano, Carla a Napoli.

Passiamo alle professioni. Ora il vincolo (2) diventa utilizzabile, e va letto con attenzione: dice "chi vive a Roma e' l'archivista", cioe' se Roma allora archivista. Sappiamo che Anna vive a Roma, quindi applichiamo il modus ponens del capitolo precedente e concludiamo che Anna e' l'archivista. Il vincolo (1), che escludeva Anna dalla contabilita', e' automaticamente rispettato. Restano ispettore e contabile per Bruno e Carla; il vincolo (4) esclude Carla dall'ispettorato, quindi Carla e' la contabile e a Bruno, ultima casella libera, tocca l'ispettore.

La soluzione e' dunque unica: Anna archivista a Roma, Bruno ispettore a Milano, Carla contabile a Napoli. A Roma vive Anna. Prima di consegnare conviene la verifica di chiusura, che costa dieci secondi: (1) Anna non e' contabile, e infatti e' archivista; (2) chi vive a Roma e' Anna, che e' archivista; (3) Bruno e' a Milano; (4) Carla non e' ispettore, e' contabile; (5) Anna non e' a Napoli, e' a Roma. Tutti e cinque i vincoli sono soddisfatti e nessuna casella e' rimasta ambigua.

Una nota sul modo di leggere il vincolo (2), perche' e' li' che si perdono i punti. "Chi vive a Roma e' l'archivista" significa "se Roma allora archivista" e non significa "l'archivista vive a Roma", che ne sarebbe il converso e, come si e' visto nel capitolo sui condizionali, non e' equivalente. La direzione conta: dalla citta' si puo' dedurre la professione, non viceversa. Chi lo legge al contrario e parte da un'ipotesi sulla professione per dedurne la citta' si ritrova con piu' scenari aperti e conclude, a torto, che il quesito sia indeterminato. Ed e' proprio questa la lezione generale: un problema di incastro si sbaglia quasi sempre per un errore di conversione del condizionale, non per un errore di griglia. Se al termine dell'analisi restano piu' scenari in piedi, il sospetto corretto non e' che il quesito sia mal costruito, ma che un vincolo sia stato saltato o tradotto nella direzione sbagliata: si rilegge il testo vincolo per vincolo prima di rispondere.

5.3 Disposizioni in fila e attorno a un tavolo

Quando i vincoli riguardano posizioni ("alla destra di", "tra", "accanto a"), la griglia lascia il posto a uno schizzo lineare o circolare. Vanno tenute a mente tre insidie. La prima e' che "accanto" non specifica il lato, mentre "alla destra" si': un vincolo simmetrico genera due scenari e va tenuto in sospeso. La seconda e' che "tra A e B" non dice quale dei due venga prima. La terza, tipica dei tavoli rotondi, e' che la "destra" va intesa dal punto di vista del soggetto seduto, non dell'osservatore: se il testo non lo chiarisce, si assume la prospettiva del soggetto. La strategia efficiente e' partire dal vincolo piu' rigido, cioe' quello che lascia meno alternative - tipicamente un blocco di due o tre persone in ordine fisso - collocarlo, e poi far ruotare il blocco tra le posizioni possibili verificando i vincoli residui.

6.1 Come si legge un diagramma

Un diagramma di Venn rappresenta gli insiemi come regioni che si sovrappongono; l'area comune a due insiemi si chiama intersezione e contiene gli elementi che appartengono a entrambi, mentre l'unione contiene quelli che appartengono ad almeno uno dei due. Il complementare di un insieme e' tutto cio' che sta fuori da esso all'interno dell'insieme di riferimento (l'universo del problema).

La distinzione che i quesiti sfruttano di continuo e' quella tra "A" e "solo A". "Gli iscritti al corso di inglese" comprende anche chi e' iscritto pure a informatica; "solo inglese" esclude i doppi iscritti. Ogni volta che il testo dice "soltanto", "esclusivamente", "e non anche", state lavorando su una regione ristretta e il numero che vi serve non e' quello dato direttamente.

6.2 Esempio svolto con due insiemi

Quesito. In un ufficio di 100 dipendenti, 60 conoscono l'inglese, 45 conoscono il francese e 20 conoscono entrambe le lingue. Quanti non conoscono nessuna delle due?

Svolgimento. Si usa il principio di inclusione-esclusione: chi conosce almeno una lingua e' pari a 60 + 45 - 20 = 85. Il -20 e' necessario perche' i bilingui sono stati contati due volte, una nei 60 e una nei 45. I dipendenti che non conoscono nessuna delle due sono 100 - 85 = 15. I distrattori tipici sono 35, che si ottiene dimenticando di sottrarre i bilingui (100 - 60 - 45 + 40 e simili pasticci), e soprattutto 0, che nasce da 100 - 60 - 45 = -5 arrotondato mentalmente a "nessuno": e' il calcolo di chi tratta i due gruppi come disgiunti. Il controllo di coerenza da fare sempre e': solo inglese = 60 - 20 = 40, solo francese = 45 - 20 = 25, entrambe = 20, nessuna = 15; totale 40 + 25 + 20 + 15 = 100. Se il totale non torna, c'e' un errore.

6.3 Percentuali sovrapposte

Quesito. Il 70% degli utenti di uno sportello ha presentato la domanda online e il 50% ha usato l'app. Qual e' la percentuale minima di utenti che ha fatto entrambe le cose?

Svolgimento. Se il 70% e il 50% fossero insiemi disgiunti, l'unione sarebbe 120%, impossibile: il totale non puo' superare il 100%. L'eccedenza 70 + 50 - 100 = 20% e' la sovrapposizione minima obbligata. Questo tipo di quesito - "qual e' il minimo che deve stare nell'intersezione" - si risolve sempre con la stessa formula: somma delle percentuali meno 100, se il risultato e' positivo; altrimenti il minimo e' zero. Il distrattore ricorrente e' 50%, cioe' il piu' piccolo dei due dati, che risponde invece alla domanda opposta ("qual e' il massimo possibile nell'intersezione": non puo' superare il piu' piccolo dei due insiemi).

7.1 Percentuali e variazioni percentuali

Una percentuale e' una frazione con denominatore 100: calcolare il 15% di 240 significa moltiplicare 240 per 0,15. La difficolta' non sta mai nel calcolo, sta nel capire rispetto a quale base la percentuale e' calcolata. Un aumento del 20% si ottiene moltiplicando per 1,20; una riduzione del 20% moltiplicando per 0,80.

Da qui nasce l'errore piu' redditizio per chi costruisce i quesiti: un aumento seguito da uno sconto della stessa entita' non riporta al punto di partenza. Il motivo e' che le due percentuali si applicano a basi diverse: l'aumento si applica al prezzo iniziale, lo sconto al prezzo gia' aumentato, che e' piu' alto.

Quesito. Un prodotto costa 100 euro. Viene prima aumentato del 20%, poi scontato del 20%. Quanto costa alla fine? (A) 100 euro (B) 96 euro (C) 104 euro (D) 98 euro

Svolgimento. 100 x 1,20 = 120; poi 120 x 0,80 = 96 euro, risposta B. La perdita netta e' del 4%, che corrisponde esattamente al prodotto delle due variazioni (0,20 x 0,20 = 0,04). La risposta A e' il distrattore progettato per chi compensa mentalmente "+20 e -20 fanno zero" ed e' scelta da una quota altissima di candidati sotto pressione di tempo. Regola generale utilissima: le variazioni percentuali non si sommano, si moltiplicano come fattori. Due aumenti del 10% consecutivi non danno +20% ma 1,10 x 1,10 = 1,21, cioe' +21%.

Un secondo punto critico e' la differenza tra punti percentuali e variazione percentuale. Se un tasso passa dal 4% al 6%, e' cresciuto di 2 punti percentuali ma del 50% in termini relativi. I quesiti giocano su questa ambiguita' offrendo entrambi i numeri tra le opzioni: bisogna leggere se la domanda chiede "di quanti punti" o "di quale percentuale".

7.2 Proporzioni, medie e rapporti

Una proporzione e' l'uguaglianza tra due rapporti e si risolve con il prodotto incrociato. Il caso classico e' la riduzione all'unita': se 4 addetti smaltiscono 200 pratiche in 5 giorni, per sapere quante ne smaltiscono 6 addetti in 3 giorni conviene calcolare la produttivita' unitaria - 200 diviso (4 x 5) = 10 pratiche per addetto al giorno - e poi moltiplicare: 10 x 6 x 3 = 180 pratiche. Ragionare per unita' evita completamente gli errori di impostazione della proporzione.

La media aritmetica e' la somma dei valori diviso il loro numero. L'insidia dei quesiti sta nelle medie di medie: la media di due medie non e' la media semplice se i gruppi hanno numerosita' diverse. Se un gruppo di 10 persone ha media 6 e un gruppo di 30 persone ha media 8, la media complessiva non e' 7 ma (10 x 6 + 30 x 8) / 40 = 300/40 = 7,5. Bisogna sempre tornare alle somme totali, mai mediare le medie. Il distrattore 7 e' sistematicamente presente.

Un'altra insidia riguarda la velocita' media: se si percorre un tratto a 60 km/h e lo stesso tratto di ritorno a 40 km/h, la velocita' media non e' 50 km/h, perche' si passa piu' tempo alla velocita' bassa. Va calcolata come spazio totale diviso tempo totale: su 120 km per tratta, l'andata dura 2 ore, il ritorno 3 ore, quindi 240 km in 5 ore, cioe' 48 km/h.

7.3 Problemi di lavoro

Nei problemi di lavoro il trucco unico e' ragionare in termini di lavoro svolto per unita' di tempo anziche' di tempo impiegato. Se un impiegato completa un fascicolo in 6 ore, in un'ora ne fa 1/6; se un collega lo completa in 3 ore, in un'ora ne fa 1/3. Lavorando insieme fanno 1/6 + 1/3 = 1/2 di fascicolo all'ora, quindi impiegano 2 ore. L'errore ricorrente e' fare la media dei tempi (6 e 3 danno 4,5), che e' logicamente assurdo perche' in due si deve impiegare meno del piu' veloce dei due. Questo controllo di plausibilita' - "il risultato deve essere inferiore al tempo del piu' veloce" - permette di scartare due opzioni su quattro senza fare alcun calcolo.

7.4 Calcolo rapido stimato

In preselettiva non serve il risultato esatto, serve individuare l'unica opzione compatibile. Conviene quindi arrotondare aggressivamente e verificare l'ordine di grandezza. Se il quesito chiede il 19% di 812 e le opzioni sono 154, 254, 96 e 1.540, basta osservare che il 20% di 800 e' 160 per capire che la risposta e' 154 senza calcolare nulla. Analogamente, per moltiplicare per 25 conviene moltiplicare per 100 e dividere per 4; per calcolare il 15% si somma il 10% (spostare la virgola) e la sua meta'. Queste scorciatoie non sono eleganza matematica: sono secondi risparmiati che si trasformano in quesiti in piu' affrontati.

8.1 Premessa, conclusione, assunzione

I quesiti di ragionamento critico presentano un brano di poche righe e chiedono di individuarne la struttura argomentativa. Le tre nozioni da padroneggiare sono le seguenti. La premessa e' l'affermazione offerta come prova, come sostegno. La conclusione e' l'affermazione che l'autore vuole far accettare e che le premesse dovrebbero sorreggere. L'assunzione implicita e' l'anello mancante: un'affermazione che l'autore non enuncia ma di cui ha bisogno perche' il ragionamento regga; se la si nega, l'argomento crolla.

Per individuare la conclusione ci si affida ai connettivi: "quindi", "pertanto", "ne consegue", "in conclusione" introducono la conclusione, mentre "poiche'", "dato che", "infatti", "in quanto" introducono premesse. Se non ci sono connettivi, il test infallibile e' la domanda del perche': si prende una frase e ci si chiede "perche'?"; se le altre frasi rispondono, quella e' la conclusione. La conclusione, per inciso, non e' necessariamente l'ultima frase del brano: spesso e' la prima, e le successive la giustificano.

8.2 Distinguere cio' che il testo implica da cio' che e' plausibile

La consegna piu' frequente e' "quale delle seguenti affermazioni si puo' dedurre dal testo?". Qui si perde punti per eccesso di buon senso: si sceglie l'opzione che nel mondo reale e' verosimile invece di quella che il testo garantisce. Il criterio da applicare e' severo: un'affermazione e' deducibile solo se sarebbe impossibile che il testo fosse vero ed essa falsa. Tutto cio' che aggiunge una causa, una previsione, una generalizzazione oltre i dati o un giudizio di valore non e' deducibile, per quanto ragionevole suoni.

Quesito. Testo: "Nell'ultimo anno le domande presentate online presso gli sportelli della sede sono aumentate del 30%, mentre quelle cartacee sono diminuite del 10%. Il tempo medio di lavorazione complessivo si e' ridotto." Quale affermazione si deduce dal testo? (A) La digitalizzazione ha causato la riduzione dei tempi (B) Il numero totale delle domande e' aumentato (C) Nell'ultimo anno le domande online sono cresciute e quelle cartacee sono calate (D) In futuro le domande cartacee spariranno

Svolgimento. La risposta e' C: e' la semplice riformulazione di quanto il testo afferma, e per questo motivo suona banale - i candidati la scartano proprio perche' "non dice nulla di nuovo", che e' invece esattamente la caratteristica di un'inferenza sicura. La A e' il distrattore piu' forte perche' introduce un nesso causale a partire da una semplice contemporaneita': il testo dice che le due cose sono accadute nello stesso periodo, non che una abbia causato l'altra; la riduzione dei tempi potrebbe derivare da nuove assunzioni di personale. La B non e' deducibile perche' non conosciamo le quantita' di partenza: un +30% su una base piccola puo' essere inferiore in valore assoluto a un -10% su una base grande. La D e' una previsione, e nessun testo che descrive il passato garantisce il futuro. In sintesi, i quattro modi tipici in cui un distrattore va oltre il testo sono: causa al posto di correlazione, previsione al posto di descrizione, generalizzazione oltre il campione osservato, valutazione ("e' positivo che...") al posto del fatto.

8.3 Indebolire e rafforzare

Una variante chiede quale affermazione indebolisce o rafforza l'argomento. Il metodo e' identico: si individua l'assunzione implicita e la si attacca o si sostiene. Nell'esempio precedente, l'assunzione dell'argomento "la digitalizzazione ha ridotto i tempi" e' che non siano intervenuti altri fattori; l'opzione che indebolisce di piu' sara' quindi quella che ne indica uno - per esempio "nello stesso periodo l'organico e' aumentato del 40%". Attenzione: indebolire non significa dimostrare il contrario, significa rendere meno probabile la conclusione. Un'opzione che nega frontalmente una premessa spesso non e' la risposta attesa, perche' i quesiti chiedono di lavorare sull'inferenza, non sui dati.

9.1 Proporzionalita' diretta e inversa: che cosa resta fisso

Due grandezze sono direttamente proporzionali quando il loro rapporto resta costante: se una raddoppia, raddoppia anche l'altra (litri di benzina e chilometri, kg di merce e prezzo). Sono inversamente proporzionali quando resta costante il loro prodotto: se una raddoppia l'altra si dimezza (operai e giorni di lavoro, numero di rate e importo della rata, velocita' e tempo sullo stesso percorso). La domanda da farsi prima di toccare un numero e': che cosa resta fisso in questo problema? Se resta fisso un rapporto (prezzo al chilo, cambio, scala) la proporzionalita' e' diretta; se resta fisso un totale (il debito da restituire, il lavoro da compiere) e' inversa.

Il metodo piu' sicuro non e' impostare la proporzione a memoria ma la riduzione all'unita' del capitolo 7: si calcola la quantita' per una sola unita' (un operaio, un apicoltore, un franco) e poi la si moltiplica. Nei problemi inversi si calcola prima il totale fisso: l'acquisto a rate a tasso zero vale numero di rate x importo della rata qualunque sia il piano scelto, perche' senza interessi non si paga nulla in piu' di quanto si e' ricevuto.

Un controllo di plausibilita' da due secondi: nelle proporzioni inverse, se il dato cresce il risultato deve calare. Chi trova una rata piu' alta pagando in piu' rate ha scambiato il tipo di proporzionalita', e il distrattore preparato per lui e' sempre fra le opzioni.

Quesito. Davide acquista un frigorifero a rate a tasso zero. Pagando in 24 rate, ogni rata e' di 85 euro. Quanto sarebbe ogni rata se scegliesse di pagare in 40 rate?  (A) 51 euro  (B) 141,67 euro  (C) 49 euro  (D) 61 euro

Svolgimento. Il totale da restituire non cambia: 24 x 85 = 2.040 euro. Con 40 rate ciascuna vale 2.040 / 40 = 51 euro, risposta A. Verifica: 40 x 51 = 2.040. Il distrattore B e' il risultato di chi imposta una proporzione diretta (85 x 40 / 24 = 141,67), che darebbe una rata piu' alta pagando in piu' rate: assurdo gia' al controllo di plausibilita'. Gli altri due sono valori vicini a 51 che catturano chi non completa il calcolo.

Quesito. Quindici muratori completano un muro in 12 giorni. In quanti giorni lo completerebbero 9 muratori, lavorando allo stesso ritmo?  (A) 7,2 giorni  (B) 16 giorni  (C) 20 giorni  (D) 9 giorni

Svolgimento. Il lavoro fisso e' espresso in giornate-uomo: 15 x 12 = 180. Con 9 muratori servono 180 / 9 = 20 giorni, risposta C. Il distrattore A (12 x 9 / 15 = 7,2) e' la proporzione diretta: darebbe meno giorni con meno operai. Il B (16) nasce da chi toglie 6 muratori e 'compensa' con 4 giorni in piu' a occhio. Regola: meno persone, piu' tempo, e il prodotto resta 180.

Quesito. Il consorzio Aurora e' composto da 1.500 apicoltori che producono 450.000 kg di miele in 6 anni. Quale sarebbe la produzione annua complessiva se gli apicoltori fossero 2.000, con la stessa produttivita' individuale?  (A) 100.000 kg  (B) 75.000 kg  (C) 600.000 kg  (D) 133.333 kg

Svolgimento. Riduzione all'unita': la produttivita' di un apicoltore in un anno e' 450.000 / (1.500 x 6) = 50 kg. Con 2.000 apicoltori la produzione di un anno e' 2.000 x 50 = 100.000 kg, risposta A. Gli altri valori sono incidenti di percorso: 75.000 e' la produzione annua del consorzio originale (450.000 / 6, ci si e' dimenticati di cambiare il numero di apicoltori); 600.000 e' il totale di 6 anni scalato a 2.000 apicoltori (450.000 x 2.000 / 1.500), cioe' la risposta a una domanda diversa dall'annua.

Quesito. Con 9 franchi svizzeri, al cambio, si ottengono 6 euro. Quanti euro si ottengono con 450 franchi?  (A) 300 euro  (B) 675 euro  (C) 270 euro  (D) 400 euro

Svolgimento. Il cambio e' un rapporto fisso: 6 / 9 = 2/3 di euro per franco. 450 x 2/3 = 300 euro, risposta A. Il distrattore 675 e' il cambio capovolto (450 x 9 / 6): lo smaschera il buon senso, perche' in questo problema un franco vale meno di un euro e gli euro ottenuti devono essere meno dei franchi spesi.

Quesito. Una carta geografica e' in scala 1 : 25.000. Due paesi distano nella realta' 4,5 km. A quanti centimetri sono rappresentati sulla carta?  (A) 18 cm  (B) 1,8 cm  (C) 180 cm  (D) 0,18 cm

Svolgimento. La scala 1 : 25.000 significa che 1 cm sulla carta vale 25.000 cm nella realta'. Si porta la distanza reale in centimetri: 4,5 km = 4.500 m = 450.000 cm. Poi si divide per 25.000: 450.000 / 25.000 = 18 cm, risposta A. Gli errori sono tutti di zeri: le altre opzioni differiscono per fattori di 10 e 100, ed e' per questo che conviene convertire i chilometri in centimetri come primo passo, scrivendo ogni passaggio. Controllo: 18 cm x 25.000 = 450.000 cm = 4,5 km.

Quesito. Luca dice di avere 28 anni, ma conta soltanto 2 giorni su 3 di ogni anno. Marco ha 55 anni. Quanti anni di differenza ci sono realmente fra i due?  (A) 13 anni  (B) 27 anni  (C) 36 anni  (D) 42 anni

Svolgimento. Luca conta i 2/3 del tempo reale: 28 anni sono i 2/3 della sua eta' vera, che quindi e' 28 x 3 / 2 = 42 anni (si divide per la frazione, cioe' si moltiplica per la frazione capovolta). La differenza reale e' 55 - 42 = 13 anni, risposta A. Il distrattore 27 e' 55 - 28, il confronto fra l'eta' vera di Marco e quella dichiarata di Luca; il 36 nasce da 28 x 2/3 = 18,67 (si moltiplica per la frazione invece di dividere) e 55 - 18,67 circa 36; il 42 e' l'eta' vera di Luca, risposta a un'altra domanda.

9.2 Frazioni di un intero e spartizioni

Tre operazioni coprono quasi tutti i quesiti con le frazioni. La prima: la frazione di un intero. I 3/8 di 40 si trovano con 40 x 3 / 8 = 15. La seconda, la sua inversa: se i 3/8 dell'intero valgono 15, l'intero e' 15 x 8 / 3 = 40, cioe' si divide per la frazione. L'errore tipico e' fare 15 x 3 / 8 = 5,625: si calcola la frazione di un numero che era gia' la frazione. La terza: due parti in rapporto fra loro. Quando una parte 'misura i 4/5 dell'altra' non sono 4/5 dell'intero: il rapporto fra le parti e' 4 : 5, l'intero e' fatto di 4 + 5 = 9 pezzi uguali e ciascuno vale intero / 9.

Due insidie ricorrono. La prima riguarda le frazioni di quel che resta: 'il primo giorno consuma 1/4 del serbatoio, il secondo 1/3 di quel che rimane' non e' la stessa cosa di '1/4 + 1/3 dell'intero'. Con una frazione 'di quel che resta' si moltiplica per il complementare (1 - 1/4 = 3/4); con frazioni dello stesso intero si sommano. La seconda riguarda le spartizioni che non tornano: se un responsabile destina 1/2, 1/3 e 1/5 di un budget, la somma e' 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30, piu' dell'intero; il quesito chiede di accorgersene, e la parte in eccesso e' 1/30 del budget.

Quesito. Una maratoneta ha percorso i 3/8 del tracciato, cioe' 15 chilometri. Quanti chilometri e' lungo l'intero tracciato?  (A) 40 km  (B) 5,625 km  (C) 45 km  (D) 120 km

Svolgimento. Se 3/8 del tracciato valgono 15 km, un ottavo vale 15 / 3 = 5 km e l'intero (8 ottavi) vale 5 x 8 = 40 km, risposta A. Controllo: i 3/8 di 40 sono 40 x 3 / 8 = 15. Il distrattore 5,625 e' 15 x 3 / 8 (frazione applicata a un dato che e' gia' la frazione); 45 e' 15 x 3 (si e' dimenticato di dividere per 8) e 120 e' 15 x 8 (si e' dimenticato di dividere per 3). Sono i tre errori possibili con tre numeri: per questo conviene passare sempre dall'unita' (un ottavo).

Quesito. Un'asta lunga 45 cm viene spezzata in due parti. Una delle due misura i 4/5 dell'altra. Quanto misura la parte piu' corta?  (A) 20 cm  (B) 36 cm  (C) 25 cm  (D) 9 cm

Svolgimento. Dire che una parte e' i 4/5 dell'altra significa che stanno in rapporto 4 : 5. L'asta e' composta da 4 + 5 = 9 pezzi uguali, ognuno di 45 / 9 = 5 cm. La parte corta ha 4 pezzi: 4 x 5 = 20 cm, risposta A (la lunga ne ha 5, cioe' 25 cm; 20 + 25 = 45). Il distrattore 36 e' 4/5 dell'intera asta (45 x 4 / 5): si e' preso il rapporto fra le parti per una frazione del tutto. Il 25 e' la parte lunga: la domanda chiede la piu' corta, e una lettura frettolosa cade proprio qui.

Quesito. Il responsabile di un progetto da 2.400 euro propone di destinare la meta' alla formazione, un terzo alle attrezzature e un quinto alla comunicazione. Cosi' facendo:  (A) il budget viene esaurito esattamente  (B) si supera il budget di 80 euro  (C) avanzano 80 euro  (D) si supera il budget di 31 euro

Svolgimento. Le tre frazioni sono riferite allo stesso intero e quindi si sommano: 1/2 + 1/3 + 1/5 = 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30. Superano l'intero di 1/30 del budget: 2.400 / 30 = 80 euro di troppo, risposta B. In euro: 1.200 + 800 + 480 = 2.480, e 2.480 - 2.400 = 80. La A e' per chi non fa il denominatore comune e 'sente' che meta', terzo e quinto sono quasi tutto; la C e' lo stesso conto con il segno sbagliato; la D scambia il numeratore 31 per euro.

Quesito. Un serbatoio contiene 840 litri. Il primo giorno se ne consuma 1/4. Il secondo giorno se ne consuma 1/3 di quanto era rimasto. Quanti litri restano alla fine del secondo giorno?  (A) 420 litri  (B) 350 litri  (C) 490 litri  (D) 630 litri

Svolgimento. Primo giorno: 840 x 1/4 = 210 litri consumati, restano 840 - 210 = 630. Secondo giorno: 1/3 di 630 = 210 litri consumati, restano 630 - 210 = 420 litri, risposta A. In un solo passaggio: 840 x 3/4 x 2/3 = 420. Il distrattore B (350) e' quello da temere: nasce da 840 x (1 - 1/4 - 1/3) = 840 x 5/12, cioe' dal trattare 1/3 come frazione dell'intero iniziale (280 litri) anziche' del residuo. Il D (630) e' il residuo dopo il solo primo giorno.

Quesito. Un premio di 1.260 euro viene diviso fra tre colleghi in proporzione alle ore lavorate: 2, 3 e 4 ore rispettivamente. Quanto riceve il collega che ha lavorato 3 ore?  (A) 420 euro  (B) 315 euro  (C) 630 euro  (D) 360 euro

Svolgimento. Una ripartizione proporzionale si risolve calcolando il valore di una 'parte': le parti sono 2 + 3 + 4 = 9, quindi una parte vale 1.260 / 9 = 140 euro. Il collega delle 3 ore riceve 3 x 140 = 420 euro, risposta A (gli altri 280 e 560; 280 + 420 + 560 = 1.260). Il distrattore 315 e' 1.260 / 4, il 630 e' la meta' del premio: scelte di chi non somma le parti. Verifica sempre che le quote sommino al totale.

9.3 Problemi che si risolvono con equazioni di primo grado

Quando il testo dice 'trova un numero tale che...' o 'quanti anni ha...', la tecnica e' una sola, in quattro mosse: (1) scegliere l'incognita e dichiarare che cosa rappresenta (x = eta' di oggi); (2) tradurre ogni frase del testo in un'espressione, una alla volta; (3) scrivere l'equazione che dice 'queste due espressioni sono uguali'; (4) risolverla e verificare nel testo, non nell'equazione. Il punto 4 salva dai distrattori: le opzioni sbagliate sono soluzioni di equazioni mal scritte, e rimettere il risultato nella frase originale le smaschera.

Per le eta' c'e' una regola che semplifica tutto: la differenza fra due eta' non cambia mai nel tempo, mentre le eta' crescono tutte della stessa quantita'. Se oggi ho x anni, 5 anni fa ne avevo x - 5 e fra 10 anni ne avro' x + 10. Il 'doppio di' si scrive 2( ... ) con la parentesi, perche' il doppio si applica a tutta l'espressione: errore frequente e' scrivere 2x - 5 invece di 2(x - 5).

I problemi di teste e zampe sono sistemi di primo grado mascherati: se in totale ci sono 45 teste e si chiamano c i conigli, le galline sono 45 - c, e il conteggio delle zampe diventa 2(45 - c) + 4c. Basta questo per ridurre due incognite a una. Infine i quesiti con simboli al posto dei numeri ('se @ - 3 = -@ + # + $, con # e $ noti, quanto vale @?') sono equazioni lineari come le altre: i simboli sono lettere. Si sostituiscono i valori noti, si portano le incognite da una parte e i numeri dall'altra, cambiando segno quando si attraversa l'uguale.

Quesito. Il triplo dell'eta' che avevo 4 anni fa e' uguale al doppio dell'eta' che avro' fra 9 anni. Quanti anni ho oggi?  (A) 30 anni  (B) 24 anni  (C) 35 anni  (D) 22 anni

Svolgimento. Sia x l'eta' di oggi. Quattro anni fa avevo x - 4, fra nove anni avro' x + 9. L'equazione e' 3(x - 4) = 2(x + 9), cioe' 3x - 12 = 2x + 18, da cui x = 30, risposta A. Verifica nel testo: 4 anni fa avevo 26 e il triplo e' 78; fra 9 anni avro' 39 e il doppio e' 78. Le altre opzioni escono da parentesi dimenticate: 3x - 4 = 2x + 9 darebbe 13, 3(x - 4) = 2x + 9 darebbe 21; 24 e 35 sono numeri 'vicini' messi come esca.

Quesito. Tre cugini hanno complessivamente 98 anni. Il maggiore ha il doppio degli anni del minore; il cugino di mezzo ha 6 anni piu' del minore. Quanti anni ha il maggiore?  (A) 46 anni  (B) 44 anni  (C) 49 anni  (D) 40 anni

Svolgimento. Si prende come incognita l'eta' del minore, x, perche' le altre due si esprimono in funzione di essa: il mediano ha x + 6, il maggiore 2x. La somma e' x + (x + 6) + 2x = 98, cioe' 4x + 6 = 98, 4x = 92, x = 23. Il maggiore ha 2 x 23 = 46 anni, risposta A; il mediano ha 29 e 23 + 29 + 46 = 98. Il distrattore 49 e' 98 / 2 (il maggiore non e' la meta' della somma); il 44 e il 40 sono valori vicini che nascono da errori di una o due unita' nel passaggio 4x = 92.

Quesito. Mio padre ha 48 anni e io ne ho 12. Fra quanti anni l'eta' di mio padre sara' il triplo della mia?  (A) 6 anni  (B) 8 anni  (C) 12 anni  (D) 4 anni

Svolgimento. Fra x anni mio padre avra' 48 + x e io 12 + x. L'equazione e' 48 + x = 3(12 + x): 48 + x = 36 + 3x, da cui 12 = 2x e x = 6, risposta A. Verifica: padre 54, io 18, e 3 x 18 = 54. Si noti la trappola logica: oggi il padre ha il quadruplo dei miei anni (48 / 12) e il rapporto cala col tempo, perche' la stessa quantita' si aggiunge a entrambi. Chi scrive 48 = 3 x 12 (che e' falso) sta ignorando che la domanda riguarda un momento futuro.

Quesito. In un cortile ci sono galline e conigli: in tutto 45 teste e 130 zampe. Quante sono, rispettivamente, le galline e i conigli?  (A) 25 galline e 20 conigli  (B) 20 galline e 25 conigli  (C) 30 galline e 15 conigli  (D) 35 galline e 10 conigli

Svolgimento. Sia c il numero dei conigli: le galline sono 45 - c. Le zampe sono 2 x (45 - c) + 4c = 90 - 2c + 4c = 90 + 2c = 130, quindi 2c = 40 e c = 20. Le galline sono 45 - 20 = 25: risposta A (25 galline, 20 conigli). Verifica sulle zampe: 25 x 2 + 20 x 4 = 50 + 80 = 130. Il distrattore B e' la stessa coppia a ruoli scambiati, quello da non sbagliare perche' le teste tornano comunque (45); C e D hanno 45 teste ma 120 e 110 zampe. Il modo piu' rapido per scartarli e' contare le zampe: le teste non bastano mai a decidere.

Quesito. Se: @ - 3 = -@ + # + $ ; # = -6 ; $ = 7 ; quanto vale @?  (A) 2  (B) -2  (C) 4  (D) 3

Svolgimento. Si sostituiscono i valori noti: @ - 3 = -@ + (-6) + 7 = -@ + 1. Si portano le incognite a sinistra e i numeri a destra, cambiando il segno di cio' che attraversa l'uguale: @ + @ = 1 + 3, cioe' 2@ = 4 e @ = 2, risposta A. Verifica: a sinistra 2 - 3 = -1; a destra -2 + (-6) + 7 = -1. Il 4 e' il valore di 2@ non diviso per 2; il -2 e' il risultato di chi sbaglia il segno nel passaggio (2@ = -4); il 3 e' semplicemente il numero che compare nell'equazione.

9.4 Confronto di offerte e tariffe: costo fisso piu' variabile

Un'offerta con una quota fissa e un prezzo per ogni unita' consumata e' una funzione lineare: costo = fisso + prezzo x unita'. Confrontarne due vuol dire trovare il punto di pareggio, cioe' il consumo per cui i due costi coincidono, e capire da che parte conviene ciascuna. Il procedimento: (1) scrivere il costo di ciascuna offerta per tratti, perche' molte tariffe hanno una soglia inclusa nel fisso e una tariffa extra oltre la soglia; (2) uguagliare i due costi nel tratto che interessa; (3) controllare con un valore concreto da ciascun lato del pareggio. L'ultimo passo e' obbligatorio: con le soglie l'offerta conveniente puo' cambiare piu' di una volta.

Due formulazioni da leggere con cura. 'Fino a 10 ingressi inclusi' vuol dire che l'extra si paga solo sugli ingressi oltre il decimo: il costo per x ingressi e' fisso + extra x (x - 10), non fisso + extra x x. E 'conviene' e' in senso stretto: nel punto di pareggio le due offerte costano uguale e nessuna conviene piu' dell'altra. I distrattori sfruttano la soglia e il pareggio.

Quesito. Due palestre propongono questi abbonamenti mensili. Fit: 30 euro con 10 ingressi inclusi e 5 euro per ogni ingresso in piu'. Move: 20 euro con 4 ingressi inclusi e 4 euro per ogni ingresso in piu'. Per quanti ingressi al mese conviene Fit?  (A) per piu' di 6 ingressi  (B) per un numero di ingressi compreso fra 7 e 23  (C) sempre  (D) per meno di 24 ingressi

Svolgimento. Costo di Fit: 30 euro fino a 10 ingressi; oltre, 30 + 5(x - 10) = 5x - 20. Costo di Move: 20 euro fino a 4 ingressi; oltre, 20 + 4(x - 4) = 4x + 4. Primo pareggio: nel tratto in cui Fit costa 30 fissi, 4x + 4 = 30 da' x = 6,5: per x = 6 Move costa 28 (conviene Move), da x = 7 Move costa 32 e conviene Fit. Secondo pareggio, quando Fit esce dalla soglia: 5x - 20 = 4x + 4 da' x = 24. Verifica: x = 23, Fit 95 e Move 96 (Fit conviene); x = 24, entrambe 100 (parita'); x = 25, Fit 105 e Move 104 (conviene Move). Dunque Fit conviene per ingressi da 7 a 23: risposta B. La A e' la risposta di chi si ferma al primo pareggio; la D include anche i consumi bassi, dove Move e' meno cara; la C e' falsa gia' con 1 ingresso.

Quesito. Per noleggiare un furgone, la societa' Alfa chiede 50 euro al giorno comprensivi di 80 km e 0,40 euro per ogni chilometro oltre gli 80. La societa' Beta chiede 35 euro al giorno piu' 0,70 euro per ogni chilometro percorso. Da quanti chilometri in su (in un giorno) conviene Alfa?  (A) da 22 km  (B) da 80 km  (C) da 36 km  (D) da 21 km

Svolgimento. Fino a 80 km Alfa costa 50 euro fissi; Beta costa 35 + 0,70x. Uguagliando nel tratto fino a 80 km: 50 = 35 + 0,70x, cioe' x = 15 / 0,70 = 21,43 km. A 21 km Beta costa 35 + 14,70 = 49,70 (meno di 50: conviene Beta); a 22 km costa 35 + 15,40 = 50,40 (piu' di 50: conviene Alfa). Oltre gli 80 km Alfa costa 50 + 0,40(x - 80) = 0,40x + 18 e resta piu' bassa di Beta: Alfa ha anche il prezzo al chilometro minore, e il pareggio con Beta nel tratto oltre gli 80 km uscirebbe a un valore negativo (0,40x + 18 = 35 + 0,70x da' x = -56,7). Quindi Alfa conviene da 22 km, risposta A. Il distrattore D (21) e' la soglia arrotondata per difetto invece che per eccesso; B e' la soglia dell'offerta, non il pareggio.

9.5 Quote, conti alla romana e pareggi fra amici

La famiglia dei 'conti da dividere' si risolve con una domanda: chi paga che cosa, e che cosa viene ripartito? Il totale e' un numero fisso; cambia il numero di persone fra cui si divide. Se uno non paga, il suo debito non scompare, viene ripartito sugli altri. Quando solo qualcuno ha consumato una voce extra (un dolce, un caffe'), quella voce si toglie dal totale prima di dividere la parte comune per tutti, poi si aggiunge a chi l'ha presa. I distrattori sono due: dividere il totale per il numero sbagliato di persone e dimenticare di togliere l'extra.

Quesito. Nove amici vanno a cena per festeggiare Anna: a conti fatti ciascuno dovrebbe pagare 14 euro. Decidono pero' di non far pagare Anna. Quanto paga ciascuno degli altri?  (A) 15,75 euro  (B) 16 euro  (C) 14 euro  (D) 15 euro

Svolgimento. Il conto totale non cambia: 9 x 14 = 126 euro. Pagano in 8 (nove meno la festeggiata): 126 / 8 = 15,75 euro, risposta A. Verifica: 8 x 15,75 = 126. La risposta 15 e' un arrotondamento per difetto (14 + 14/8 = 15,75, e il 'circa 15' e' di chi si ferma prima); la 16 e' l'arrotondamento per eccesso; la 14 e' di chi legge 'non paga Anna' come 'per gli altri non cambia niente'.

Quesito. Quattro amici pagano insieme un conto di 78 euro. Soltanto uno di loro ha preso anche il dolce, che costa 6 euro; tutto il resto e' stato consumato in parti uguali. Quanto spende ciascuno degli altri tre?  (A) 18 euro  (B) 19,50 euro  (C) 24 euro  (D) 20 euro

Svolgimento. Il dolce e' una spesa individuale e va tolto dal totale prima di dividere: 78 - 6 = 72 euro di spesa comune, da dividere fra tutti e quattro (anche chi ha preso il dolce ha consumato il resto): 72 / 4 = 18 euro a testa, risposta A. Chi ha preso il dolce paga 18 + 6 = 24. Controllo: 3 x 18 + 24 = 78. Le due esche tipiche: 19,50 e' 78 / 4, cioe' il dolce ripartito in parti uguali; 24 e' 72 / 3, cioe' la spesa comune divisa fra tre persone invece che fra quattro.

Quesito. Quattro amici si accordano che i guadagni di un lavoretto estivo siano divisi in parti uguali. Hanno guadagnato: 24, 18, 9 e 45 euro. Quanto deve ricevere da chi ha guadagnato 45 euro l'amico che ha guadagnato 9?  (A) 15 euro  (B) 36 euro  (C) 21 euro  (D) 6 euro

Svolgimento. Il totale e' 24 + 18 + 9 + 45 = 96 euro, quindi la quota a testa e' 96 / 4 = 24 euro. Chi ha incassato 9 ne deve ricevere 24 - 9 = 15: risposta A (chi ne ha incassati 18 deve riceverne 6; chi ne ha incassati 45 ne deve dare 21 in tutto, che sono proprio 15 + 6: i conti tornano). La trappola 21 e' la cifra che deve versare in totale il piu' fortunato, non quella che spetta al singolo amico; la 6 e' la quota dell'amico da 18 euro; la 36 e' 45 - 9, una differenza fra due incassi, che non e' il riequilibrio.

9.6 Percentuali: altri quesiti oltre il capitolo 7

Il capitolo 7 ha fissato le regole di base: la percentuale e' una frazione con denominatore 100, un aumento e uno sconto si moltiplicano (non si sommano), e conviene sempre chiedersi rispetto a quale base si calcola. Qui si aggiungono quattro situazioni che nei quesiti ricorrono di continuo.

• Variazioni successive. Il fattore complessivo e' il prodotto dei fattori di ciascun passo (-25% vale 0,75; -40% vale 0,60): due cali del 25% e del 40% non fanno -65%, ma 0,75 x 0,60 = 0,45, cioe' -55%. Il calo totale e' sempre inferiore alla somma dei cali.
• Percentuale di una percentuale. 'Il 60% sono ragazze e il 40% delle ragazze frequenta il corso': si moltiplicano i fattori, 0,60 x 0,40 = 0,24. Le ragazze del corso sono il 24% del totale, non il 40%.
• Risalire al valore iniziale. Dato il prezzo finale dopo una variazione, si divide per il fattore: dopo uno sconto del 30% (fattore 0,70) il prezzo di 245 euro viene da 245 / 0,70 = 350. Applicare un +30% al prezzo scontato (245 x 1,30 = 318,50) e' l'errore che i distrattori esaltano.
• Variazione percentuale fra due valori. (nuovo - vecchio) / vecchio: la base e' sempre il vecchio. Se si usa come base il nuovo il risultato e' sbagliato (piu' piccolo in un aumento, piu' grande in un calo), e spesso compare come distrattore.

Quesito. Un'associazione ha 1.200 iscritti a gennaio. A febbraio gli iscritti calano del 25% rispetto a gennaio; a marzo calano del 40% rispetto a febbraio. Quanti sono gli iscritti a marzo, e di quanto sono calati in totale rispetto a gennaio?  (A) 540 iscritti, calo del 55%  (B) 420 iscritti, calo del 65%  (C) 600 iscritti, calo del 50%  (D) 780 iscritti, calo del 35%

Svolgimento. Febbraio: 1.200 x 0,75 = 900. Marzo: 900 x 0,60 = 540. Il calo totale e' (1.200 - 540) / 1.200 = 660 / 1.200 = 55%, risposta A. In un solo passaggio: 0,75 x 0,60 = 0,45, quindi resta il 45% e si e' perso il 55%. Il distrattore B e' l'errore di chi somma i due cali (25 + 40 = 65%) e poi applica -65% a 1.200 (1.200 x 0,35 = 420): il calo reale e' minore perche' il secondo 40% si applica a una base gia' ridotta. Gli altri due sono valori che non corrispondono a nessun passaggio: si scartano con un controllo d'ordine di grandezza.

Quesito. Dopo uno sconto del 30%, un cappotto costa 245 euro. Quanto costava prima dello sconto?  (A) 350 euro  (B) 318,50 euro  (C) 275 euro  (D) 245 euro

Svolgimento. Il prezzo scontato e' il 70% dell'originale: 245 = 0,70 x P, quindi P = 245 / 0,70 = 350 euro, risposta A. Verifica: 350 x 0,70 = 245. Il distrattore B (245 x 1,30 = 318,50) calcola il 30% sul prezzo gia' scontato: ma lo sconto era sul prezzo pieno, che e' piu' alto, e infatti rimettendo il 30% si ottiene meno di 350. Il C (275) e' 245 + 30. Regola: dalla cifra finale si risale all'iniziale dividendo per il fattore, mai moltiplicando per il fattore opposto.

Quesito. Una scuola ha 1.500 iscritti. Il 60% sono ragazze e il 40% delle ragazze frequenta il corso di lingue. Quante ragazze frequentano il corso di lingue?  (A) 360  (B) 600  (C) 540  (D) 900

Svolgimento. Le ragazze sono 1.500 x 0,60 = 900. Il 40% di 900 e' 900 x 0,40 = 360, risposta A, pari al 24% di 1.500 (0,60 x 0,40 = 0,24). Il distrattore 600 e' il 40% del totale (1.500 x 0,40): la seconda percentuale e' stata calcolata sulla base sbagliata; 900 e' il passo intermedio, il numero delle ragazze, che sceglie chi ha capito il meccanismo ma si e' fermato troppo presto.

Quesito. Una gioielleria ha venduto 480 anelli a febbraio e 612 a marzo. Qual e' l'incremento percentuale delle vendite da febbraio a marzo?  (A) 27,5%  (B) 21,6%  (C) 32%  (D) 28%

Svolgimento. L'incremento e' la differenza (612 - 480 = 132) rapportata al valore di partenza: 132 / 480 = 0,275 = 27,5%, risposta A. Il distrattore 21,6% e' 132 / 612, cioe' la differenza rapportata al valore di arrivo (la base sbagliata, che da' sempre un numero minore). Verifica: 480 x 1,275 = 612. Il 32% e il 28% sono numeri plausibili piazzati a poche unita' di distanza.

Quesito. Un capitale di 8.000 euro e' depositato per 8 mesi a un tasso d'interesse semplice del 4,5% annuo. Quale interesse matura?  (A) 240 euro  (B) 360 euro  (C) 2.880 euro  (D) 160 euro

Svolgimento. Il tasso e' annuo: in un anno gli interessi sono 8.000 x 0,045 = 360 euro. Il capitale e' impiegato per 8/12 di anno, quindi l'interesse e' 360 x 8 / 12 = 240 euro, risposta A. Il distrattore 360 e' l'interesse di un anno intero; 2.880 e' 360 x 8, cioe' i mesi trattati come anni. Nei problemi di interesse il tempo va espresso nella stessa unita' del tasso: la domanda di controllo e' 'questo tasso e' annuo o mensile?'.

Resta il ragionamento critico con un conto percentuale (tipologia del capitolo 8). Si trovano due schemi. Il primo: 'A e' aumentato del 10% e B e' diminuito del 4%, quindi ora A supera B'. L'argomento dipende dal punto di partenza: per indebolirlo bisogna trovare l'affermazione che, sostituita nei numeri, ribalta l'esito. Si pone B iniziale = k x A iniziale e si verifica quando 0,96k supera 1,10. Il secondo schema: percentuali che si sovrappongono. Se l'80% ha una caratteristica, il 75% un'altra e il 60% una terza, chi non ha la prima e' il 20%, chi non ha la seconda il 25%, chi non ha la terza il 40%: la somma dei complementari fa 85%, meno di 100%, quindi almeno il 15% ha tutte e tre le caratteristiche. Se la somma dei complementari fosse stata superiore a 100% non si sarebbe potuto concludere niente.

Quesito. 'Secondo una ricerca, nell'ultimo anno, nell'Ateneo di Alba il numero dei laureati in Chimica e' aumentato del 10% rispetto all'anno precedente, mentre quello dei laureati in Fisica e' diminuito del 4%. Quindi, nell'ultimo anno, i laureati in Chimica sono stati piu' numerosi di quelli in Fisica.' Quale affermazione, se vera, indebolirebbe questa argomentazione?  (A) L'anno prima i laureati in Fisica erano i 3/2 di quelli in Chimica.  (B) L'anno prima i laureati in Fisica erano la meta' di quelli in Chimica.  (C) L'anno prima i laureati in Chimica e in Fisica erano in egual numero.  (D) L'anno prima i laureati in Fisica erano i 9/8 di quelli in Chimica.

Svolgimento. Si pone C = laureati in Chimica l'anno prima e F = laureati in Fisica l'anno prima. Quest'anno i primi sono 1,10C, i secondi 0,96F. La conclusione 'Chimica supera Fisica' cade se 0,96F supera 1,10C, cioe' se F e' maggiore di 1,10 / 0,96 = 1,146 volte C. Verifica opzione per opzione: con F = 3/2 C, 0,96 x 1,5 = 1,44, che supera 1,10 (la conclusione e' falsa: risposta A); con F = 1/2 C si ha 0,48 (la conclusione regge, anzi si rafforza); con F = C si ha 0,96 (regge); con F = 9/8 C si ha 0,96 x 1,125 = 1,08, ancora minore di 1,10 (regge per un soffio: e' il distrattore per chi sente 'F era piu' grande, quindi qualcosa cambia'). Per indebolire non basta che F fosse maggiore: deve esserlo abbastanza da superare la soglia 1,146.

Quesito. Nel circolo Aurora l'80% dei soci ha piu' di 40 anni, il 75% e' laureato e il 60% e' iscritto da piu' di 10 anni. Quale affermazione e' necessariamente vera?  (A) Esiste almeno un socio con piu' di 40 anni, laureato e iscritto da piu' di 10 anni.  (B) Esiste almeno un socio con meno di 40 anni e laureato.  (C) Nessun socio laureato e' iscritto da piu' di 10 anni.  (D) Tutti i soci iscritti da piu' di 10 anni sono laureati.

Svolgimento. I soci che non hanno la prima caratteristica sono il 20%, quelli senza la seconda il 25%, quelli senza la terza il 40%. Anche nel caso peggiore, in cui questi tre gruppi non si sovrappongono mai, coprono 20 + 25 + 40 = 85% dei soci: ne resta almeno il 15% che non e' in nessuno dei tre gruppi, cioe' che ha tutte e tre le caratteristiche. Risposta A. Le altre sono possibili ma non necessarie: i soci con non piu' di 40 anni (20%) potrebbero essere tutti non laureati (B); laureati e iscritti da molto sono il 75% e il 60%, quindi per forza almeno il 35% sta in entrambi e la C e' falsa; la D richiederebbe che il 60% sia contenuto nel 75%, che e' possibile ma non obbligato.

9.7 Successioni miste di lettere e numeri e serie con regole composte

Il capitolo 2 ha insegnato il metodo generale (differenze, rapporti, alternanza, numeri figurati) e le serie di sole lettere. Qui si trattano due famiglie che non copre. La prima e' la successione mista, in cui lettere e numeri si alternano (D; 4; F; 7; H; 11; ...): le due serie sono indipendenti. Ogni posizione dispari e' una serie di lettere (si traducono in posizioni, con l'alfabeto indicato dalla consegna) e ogni posizione pari una serie di numeri, e si prosegue ciascuna per conto suo. Il quesito chiede di solito due termini mancanti, uno per serie: le opzioni sbagliate ne tengono una giusta e una sbagliata, quindi l'errore va cercato nella serie controllata meno.

La seconda famiglia e' quella delle regole composte. Oltre a 'moltiplica e somma' (capitolo 2) si incontrano: (a) la regola ricorsiva, in cui ogni termine e' la somma dei due (o tre) precedenti, che si sospetta quando le differenze 'somigliano' alla serie stessa; (b) la regola a operazioni alternate, per esempio x3, -3, x3, -3; (c) due serie intrecciate con passi diversi, una moltiplicativa e una additiva. Il segnale delle intrecciate: i termini salgono e scendono senza ordine, ma guardando un termine si' e uno no ciascuna sottoserie e' regolare.

Quesito. Completare: G; 4; F; 7; E; 11; D; 16; ?; ? (alfabeto italiano)  (A) C; 22  (B) C; 21  (C) B; 22  (D) H; 23

Svolgimento. Si separano le due serie. Lettere: G, F, E, D scendono di una posizione alla volta (G=7, F=6, E=5, D=4), il successivo e' C. Numeri: 4, 7, 11, 16; le differenze sono +3, +4, +5, quindi la prossima e' +6 e il numero e' 16 + 6 = 22. La coppia e' C; 22, risposta A. Il distrattore B; 22 e' giusto sul numero e sbagliato sulla lettera (salta due posizioni invece di una); C; 21 ha la lettera giusta e il numero sbagliato (la differenza resta +5 invece di crescere); H; 23 inverte il verso delle lettere. Con due serie da risolvere basta sbagliarne una per cadere in un distrattore: si controllano separatamente.

Quesito. Completare: T; 3; R; 5; P; 8; N; 13; ?; ? (alfabeto italiano)  (A) L; 21  (B) M; 21  (C) L; 18  (D) L; 20

Svolgimento. Le lettere vanno all'indietro di 2 posizioni: T=18, R=16, P=14, N=12, quindi la successiva e' la decima, che nell'alfabeto italiano e' L (A=1, B=2, C=3, D=4, E=5, F=6, G=7, H=8, I=9, L=10). I numeri 3, 5, 8, 13 hanno differenze 2, 3, 5, che sono a loro volta numeri della stessa serie: ogni termine e' la somma dei due precedenti (3+5=8, 5+8=13), quindi il prossimo e' 8 + 13 = 21. La risposta e' L; 21, A. Il distrattore M; 21 e' il tipico errore di conteggio dell'ultima lettera (11 al posto di 10): conviene scrivere la scala A-L e contare un passo alla volta. L; 18 e L; 20 hanno la lettera giusta e un numero che non rispetta la regola della somma.

Quesito. Completare la serie: 12; 5; 24; 8; 48; 11; ?; ?  (A) 96; 14  (B) 72; 14  (C) 96; 13  (D) 60; 14

Svolgimento. I termini non sono monotoni: 12, 24, 48 (posti dispari) e 5, 8, 11 (posti pari). La prima sottoserie raddoppia ogni volta (12 x 2 = 24, 24 x 2 = 48), la seconda aumenta di 3. I due termini cercati sono 48 x 2 = 96 e 11 + 3 = 14, risposta A. Il distrattore 72; 14 e' di chi legge sulla sottoserie dispari una progressione +24 (48 + 24); il 96; 13 sbaglia il passo della seconda. Il segnale per pensare a due serie intrecciate e' proprio l'andamento a zig-zag di 12, 5, 24, 8, 48, 11: se ogni termine fosse legato al precedente le differenze non sarebbero cosi' irregolari.

Quesito. Completare la serie: 1; 2; 4; 7; 13; 24; ?; ?  (A) 44; 81  (B) 44; 79  (C) 48; 90  (D) 42; 77

Svolgimento. Le differenze sono 1, 2, 3, 6, 11: non formano un andamento semplice, ma si nota che 1 + 2 + 4 = 7, 2 + 4 + 7 = 13, 4 + 7 + 13 = 24. Ogni termine e' la somma dei tre precedenti. I due mancanti sono 7 + 13 + 24 = 44 e poi 13 + 24 + 44 = 81. Risposta A. Si controlla sempre anche il secondo termine richiesto con la stessa regola: il distrattore 44; 79 e' giusto sul primo e sbagliato sul secondo per un errore di somma. Quando le differenze crescono in modo strano, il sospetto va alla somma di piu' termini precedenti.

Quesito. Completare la serie: 5; 15; 12; 36; 33; ?; ?  (A) 99; 96  (B) 99; 102  (C) 66; 63  (D) 36; 33

Svolgimento. I rapporti non sono costanti e nemmeno le differenze. Si scrivono le operazioni passo dopo passo: 5 -> 15 e' x 3; 15 -> 12 e' - 3; 12 -> 36 e' x 3; 36 -> 33 e' - 3. Le due operazioni si alternano: dopo il - 3 tocca di nuovo x 3, cioe' 33 x 3 = 99, e poi - 3, cioe' 96. Risposta A. Il distrattore 99; 102 sbaglia il verso della seconda operazione (+ 3 invece di - 3); 66; 63 applica x 2 alla prima. Con le regole alternate si scrive sempre la sequenza delle operazioni, non solo dei numeri: la ripetizione di 'x3, -3' e' evidente solo cosi'.

9.8 Altri problemi a parole: leggere il testo prima dei numeri

Nei problemi 'a parole' la difficolta' e' quasi sempre nella lettura: quello che il testo chiede non coincide con cio' che si e' calcolato per ultimo. Cinque abitudini evitano la grande maggioranza degli errori. 1) Sottolineare la domanda finale e controllare che il risultato sia proprio quella grandezza. 2) Distinguere ricavo, costo e guadagno: guadagno = ricavo - costo. 3) Contare gli intervalli, non i punti: lungo un perimetro chiuso alberi e distanze sono tanti quanti; in un filare aperto gli alberi sono uno in piu' delle distanze. 4) Portare tutto alla stessa unita' prima di calcolare (miglia e chilometri, ore e minuti, centimetri e chilometri nelle scale). 5) Chiedersi che cosa e' fisso (totale, rapporto, lavoro) prima di scegliere l'operazione.

Quesito. Attorno a un frutteto rettangolare vengono piantati alberi a distanza di 6 metri l'uno dall'altro: ne servono 40. Quanti ne servirebbero se la distanza fosse portata a 10 metri, lungo lo stesso perimetro?  (A) 24  (B) 25  (C) 66  (D) 30

Svolgimento. Il frutteto e' un perimetro chiuso: fra 40 alberi ci sono 40 intervalli di 6 metri, quindi il perimetro e' 40 x 6 = 240 metri. Con distanza 10 metri servono 240 / 10 = 24 alberi, risposta A (anche qui alberi e intervalli sono tanti quanti, perche' si torna al punto di partenza). Il distrattore B (25) e' l'errore di chi tratta il perimetro come un filare aperto e aggiunge 1; il C (66) e' 40 x 10 / 6 = 66,7: la proporzione scritta capovolta, che darebbe piu' alberi con piu' distanza; il D (30) non corrisponde a nessun calcolo.

Quesito. Un camion percorre un tratto di 90 miglia (1 miglio = 1,6 km) e poi torna indietro sullo stesso percorso. Consuma 1 litro di gasolio ogni 8 km, e il gasolio costa 1,50 euro al litro. Quanto spende in carburante per andata e ritorno?  (A) 54 euro  (B) 27 euro  (C) 36 euro  (D) 81 euro

Svolgimento. Si porta la distanza in chilometri: 90 x 1,6 = 144 km di andata, 288 km fra andata e ritorno. Consumo: 288 / 8 = 36 litri. Costo: 36 x 1,50 = 54 euro, risposta A. Il distrattore 27 e' il costo della sola andata (si e' dimenticato il ritorno); il 36 e' il numero di litri, non la spesa (risposta a una domanda diversa); l'81 si ottiene moltiplicando 54 per 1,5 una seconda volta. Nelle catene di conversioni conviene scrivere accanto a ogni risultato l'unita' di misura.

Quesito. In un torneo a 9 squadre ogni squadra affronta tutte le altre due volte (andata e ritorno). Alla decima giornata una squadra ha una media di 1,5 punti a partita. Quanti punti avra' a fine torneo se la media resta invariata?  (A) 24  (B) 15  (C) 12  (D) 27

Svolgimento. Ogni squadra gioca contro le altre 8 due volte: 8 x 2 = 16 partite in tutto. Con una media di 1,5 punti a partita il totale finale e' 16 x 1,5 = 24 punti, risposta A. Il distrattore 15 e' il punteggio attuale (10 giornate x 1,5), quello di chi non proietta a fine torneo; il 27 e' il totale con 18 partite (9 x 2, cioe' se non si toglie la squadra stessa dal conto degli avversari). Il dato 'decima giornata' serve a capire la media, non e' il numero totale di partite.

Quesito. Un libraio vende 12 quaderni a 66 euro in totale, con un guadagno complessivo di 18 euro. Quanto aveva pagato ogni quaderno?  (A) 4 euro  (B) 5,50 euro  (C) 1,50 euro  (D) 7 euro

Svolgimento. Il ricavo e' 66 euro, il guadagno e' 18: il costo complessivo e' ricavo - guadagno = 66 - 18 = 48 euro. Ogni quaderno e' costato 48 / 12 = 4 euro, risposta A. Verifica: 12 x 4 = 48; 66 - 48 = 18. Il distrattore 5,50 e' il prezzo di vendita (66 / 12): si e' risposto alla domanda sul ricavo; l'1,50 e' il guadagno unitario (18 / 12); il 7 e' (66 + 18) / 12, cioe' il guadagno sommato invece che sottratto.

Quesito. Lucia ha 14 mele. Ne mette da parte 5 e mangia tutte le altre tranne 3. Quante mele le rimangono non mangiate?  (A) 8  (B) 3  (C) 6  (D) 9

Svolgimento. Si scrive la storia in ordine. Le 14 mele si dividono in 5 messe da parte e 14 - 5 = 9 'altre'. Di queste 9 ne mangia 'tutte tranne 3', cioe' 9 - 3 = 6, e ne restano 3. Le mele non mangiate sono quelle messe da parte piu' quelle risparmiate: 5 + 3 = 8, risposta A. Verifica: 14 - 6 mangiate = 8. Il distrattore 3 e' di chi legge 'quante ne rimangono' come 'quante ne restano dalle altre'; il 6 e' il numero di mele mangiate; il 9 e' il gruppo delle 'altre' prima di mangiarle. Domande del genere premiano chi sottolinea la domanda finale.

Quesito. Quanto dura la meta' di un quinto di un terzo di giorno?  (A) 48 minuti  (B) 80 minuti  (C) 1 ora  (D) 96 minuti

Svolgimento. Si procede dall'espressione piu' interna: un giorno e' 24 ore; un terzo di giorno e' 24 / 3 = 8 ore; un quinto di 8 ore e' 8 / 5 = 1,6 ore; la meta' di 1,6 ore e' 0,8 ore, cioe' 0,8 x 60 = 48 minuti, risposta A. Come singola moltiplicazione: 1/2 x 1/5 x 1/3 = 1/30 di giorno, cioe' 24 / 30 = 0,8 ore. Il distrattore 96 minuti e' il quinto di un terzo senza la meta' (1,6 ore); l'80 e' 0,8 ore scambiate per 80 minuti, un errore di unita' dopo il calcolo corretto, il piu' subdolo.

Quesito. Quale dei seguenti numeri ha la somma delle cifre uguale a 29?  (A) 9.875  (B) 8.765  (C) 9.874  (D) 9.775

Svolgimento. Si sommano le cifre di ciascuna opzione, raggruppando le coppie che fanno 10 o 9 per essere rapidi. 9.875: 9 + 8 + 7 + 5 = 29, e' quello corretto, risposta A. Le altre: 8.765 fa 8 + 7 + 6 + 5 = 26; 9.874 fa 9 + 8 + 7 + 4 = 28; 9.775 fa 9 + 7 + 7 + 5 = 28. Le opzioni sono costruite per essere tutte vicine al valore richiesto, e si differenziano per una sola cifra: il conto va fatto fino in fondo su ciascuna, senza fermarsi alla prima che 'sembra giusta'.

Quesito. In un parlamento 400 seggi sono ripartiti fra 7 partiti. Non ci sono due partiti con lo stesso numero di seggi e ogni partito ne ha almeno 20. Qual e' il piu' basso numero di seggi che il terzo partito per grandezza puo' avere?  (A) 24  (B) 20  (C) 57  (D) 23

Svolgimento. Per rendere il terzo partito il piu' piccolo possibile occorre che i quattro partiti piu' piccoli (dal quarto al settimo) abbiano il minimo concesso dai vincoli, e che i due piu' grandi assorbano tutti i seggi in eccesso. I minimi per i quattro piu' piccoli, tutti diversi e almeno 20, sono 20, 21, 22 e 23: il quarto partito ha quindi almeno 23 seggi, e il terzo, che deve averne di piu', almeno 24. Risposta A. Il caso e' realizzabile: 20 + 21 + 22 + 23 + 24 = 110, restano 290 seggi per i due partiti maggiori, ad esempio 150 e 140, diversi fra loro e maggiori di 24. Il distrattore 57 e' 400 / 7 arrotondato (la media, irrilevante perche' il minimo si ottiene con una distribuzione molto sbilanciata); il 23 e' il minimo del quarto partito, non del terzo; il 20 e' il vincolo generale.

Controlli finali per questo capitolo. In tutti i problemi conviene rispondere, in ordine, a quattro domande: che cosa e' fisso? (rapporto, prodotto, totale); la domanda finale e' quella a cui ho risposto? (intero, parte, rimanente, totale, differenza); le unita' sono omogenee? (anni, mesi, litri, chilometri); il risultato rimesso nel testo torna? Un minuto in piu' su questo controllo vale piu' di dieci minuti di calcolo veloce: i distrattori sono quasi sempre risposte esatte a una domanda sbagliata.

Questo capitolo raccoglie una famiglia di quesiti che nelle prove di logica numerica compare con grande regolarita': pesi, bilance, contenitori, orologi e calendari. Sono problemi che non richiedono nessuna formula avanzata, ma sono costruiti con distrattori molto precisi. Chi li affronta "a sentimento" sbaglia quasi sempre nello stesso modo; chi conosce il procedimento li risolve in meno di un minuto. Ogni sezione spiega perche' il metodo funziona, cosi' da poterlo ricostruire anche se si dimentica la regola.

10.1 Bilance a due piatti con bracci di lunghezza diversa

Una bilancia a due piatti "normale" ha i due bracci uguali: si equilibra quando i due piatti contengono lo stesso peso. Nei quesiti piu' insidiosi, invece, i bracci hanno lunghezze diverse, per esempio "il braccio sinistro misura la meta' del destro". Il principio fisico e' quello della leva: a far girare la bilancia non e' il solo peso, ma il prodotto peso x lunghezza del braccio. La bilancia e' in equilibrio quando i due prodotti sono uguali:

peso a sinistra x braccio sinistro = peso a destra x braccio destro.

Se sui piatti ci sono oggetti tutti uguali, il peso e' proporzionale al numero di oggetti, e la condizione diventa: numero a sinistra x braccio sinistro = numero a destra x braccio destro. Ne segue che il numero di oggetti e' inversamente proporzionale alla lunghezza del braccio: dove il braccio e' piu' lungo servono meno oggetti, dove e' piu' corto ne servono di piu'. Un braccio lungo "moltiplica" l'effetto del peso, quindi basta una quantita' minore per ottenere lo stesso risultato.

Il procedimento in quattro passi:

1. Assegna ai bracci due lunghezze numeriche che rispettino il rapporto dato (se uno e' la meta' dell'altro: 1 e 2; se e' un terzo: 1 e 3; se sono 20 cm e 30 cm si usano proprio questi numeri).
2. Calcola il prodotto dal lato che conosci: numero (o peso) x braccio.
3. Dividi quel prodotto per il braccio dell'altro lato: ottieni la quantita' cercata.
4. Fai il controllo di buon senso: il lato con il braccio piu' corto deve avere la quantita' piu' grande.

Il passo 4 e' quello che elimina i distrattori. Quasi tutte le domande di questo tipo offrono tra le opzioni sia il numero giusto sia quello ottenuto invertendo il rapporto (moltiplicare dove si doveva dividere). Il controllo sul lato corto distingue i due in cinque secondi, senza rifare i conti.

Quesito. Una bilancia a due piatti ha il braccio sinistro lungo un quarto del braccio destro. Nel piatto sinistro vengono posti 12 sacchetti uguali. Quanti sacchetti uguali devono essere posti nel piatto destro per ottenere l'equilibrio? (A) 3 (B) 48 (C) 6

Svolgimento. Poniamo il braccio sinistro uguale a 1 e quello destro uguale a 4. A sinistra: 12 x 1 = 12. A destra deve valere ancora 12, e il braccio vale 4, quindi 12 diviso 4 = 3 sacchetti, risposta A. Controllo: il braccio destro e' quello lungo, e infatti ha meno sacchetti (3 contro 12). La risposta B (48) nasce da 12 x 4, cioe' dall'aver invertito il rapporto: darebbe al braccio lungo piu' sacchetti del braccio corto, che e' assurdo. La C (6) e' il risultato di chi pensa a una semplice meta'.

Quesito. Il braccio sinistro di una bilancia e' il doppio del braccio destro. Se nel piatto sinistro si pongono 10 bulloni uguali, quanti bulloni uguali servono nel piatto destro per equilibrare? (A) 5 (B) 20 (C) 10

Svolgimento. Braccio sinistro 2, braccio destro 1. A sinistra: 10 x 2 = 20. A destra il braccio vale 1, quindi servono 20 diviso 1 = 20 bulloni, risposta B. Qui il braccio corto e' quello destro e deve contenere di piu': 20 contro 10. La risposta A (5) e' il distrattore di chi divide per 2 "perche' il braccio e' doppio", dimenticando che il lato opposto e' quello svantaggiato; la C vale solo per una bilancia con bracci uguali.

Il metodo non cambia se le lunghezze non sono "la meta'" o "il triplo". Quando i bracci sono dati in centimetri, o in rapporto 2 a 3, si usano direttamente quei numeri.

Quesito. I bracci di una bilancia misurano 20 cm (a sinistra) e 30 cm (a destra). A sinistra ci sono 18 pezzi uguali. Quanti pezzi uguali servono a destra? (A) 27 (B) 12 (C) 18

Svolgimento. A sinistra: 18 x 20 = 360. A destra il braccio vale 30, quindi 360 diviso 30 = 12 pezzi, risposta B. Il braccio destro e' piu' lungo, quindi ha meno pezzi: 12 e' minore di 18, coerente. La A (27) si ottiene scambiando i bracci: 18 x 30 / 20 = 27, e darebbe piu' pezzi proprio al braccio lungo.

Stesso ragionamento quando i pesi non sono uguali ma noti in chilogrammi.

Quesito. Una bilancia ha il braccio sinistro di 40 cm e il braccio destro di 25 cm. Nel piatto sinistro c'e' un peso di 5 kg. Quale peso serve nel piatto destro per l'equilibrio? (A) 3,125 kg (B) 8 kg (C) 5 kg

Svolgimento. A sinistra: 5 x 40 = 200. A destra: 200 diviso 25 = 8 kg, risposta B. Il braccio destro e' piu' corto, quindi serve un peso maggiore di 5 kg. La A (3,125 kg) e' il risultato dell'inversione (5 x 25 / 40) e contraddice il controllo di buon senso; la C vale solo a bracci uguali.

Se la domanda e' formulata al contrario (data la quantita' a destra, quanti oggetti a sinistra), la regola resta la stessa: la quantita' cercata e' sempre quella nota moltiplicata per il braccio del lato noto e divisa per il braccio del lato cercato.

10.2 Pesate minime: trovare l'oggetto piu' pesante (o piu' leggero)

Il quesito tipico: "Hai N oggetti apparentemente identici, uno dei quali e' piu' pesante degli altri. Con una bilancia a due piatti, qual e' il numero minimo di pesate che permette di individuarlo con certezza?". Non va risolto per tentativi: c'e' una regola esatta, basata su un'osservazione semplice.

Ogni pesata ha tre possibili esiti: il piatto sinistro scende, il piatto destro scende, i piatti restano in equilibrio. Una pesata non "divide in due" l'insieme: lo divide in tre, perche' anche l'equilibrio fornisce un'informazione (l'oggetto cercato non e' su nessuno dei due piatti). Chi ragiona a meta' (come in una ricerca binaria) spreca sistematicamente una pesata.

Con k pesate si distinguono al massimo 3 x 3 x ... x 3 (k volte) = 3^k esiti complessivi, quindi si riesce a individuare l'oggetto fra al massimo 3^k oggetti:

Il numero minimo di pesate e' dunque il piu' piccolo k tale che 3^k sia maggiore o uguale a N. Poiche' 3^2 = 9 e 3^3 = 27, tutti i quesiti con 5, 6, 7, 8 o 9 oggetti hanno risposta 2, e quelli con da 10 a 27 oggetti (compresi i classici 11, 12, 13) hanno risposta 3. Il numero degli oggetti "sembra grande" ma la risposta e' piccola: e' proprio questo che fa sbagliare.

La strategia che raggiunge il limite e' la suddivisione in tre gruppi il piu' possibile uguali. Si mettono due gruppi di pari numerosita' sui due piatti e il terzo si tiene da parte. Se i piatti sono in equilibrio, l'oggetto e' nel gruppo da parte; altrimenti e' nel gruppo del piatto che scende. In entrambi i casi si ripete la procedura sul gruppo individuato. Se N non e' multiplo di 3 i gruppi saranno di dimensioni leggermente diverse (ad esempio 4, 3, 3), purche' il gruppo piu' grande non superi 3^(k-1): i due gruppi pesati devono comunque avere lo stesso numero di oggetti.

Quesito. Hai 8 bottoni apparentemente identici, uno solo e' piu' pesante. Quante pesate bastano, al minimo, per individuarlo con certezza? (A) 2 (B) 3 (C) 4

Svolgimento. Con due pesate si distinguono fino a 3 x 3 = 9 casi e 8 e' minore di 9, quindi bastano 2 pesate, risposta A. Verifica concreta: si formano i gruppi 3, 3, 2. Prima pesata: 3 contro 3. Se i piatti sono in equilibrio, il pesante e' fra i 2 bottoni rimasti fuori e la seconda pesata (1 contro 1) lo indica. Se un piatto scende, il pesante e' fra i 3 di quel piatto; seconda pesata: 1 contro 1, e se sono in equilibrio e' il terzo, altrimenti e' quello che scende. Le risposte B e C sono proprie di chi ragiona "a meta'": dividere gli 8 bottoni in due meta' (4 contro 4) sembra naturale e porta a 3 pesate, ma spreca il terzo esito, quello dell'equilibrio.

Quesito. Hai 10 sfere apparentemente identiche, una e' piu' pesante. Quante pesate servono al minimo? (A) 2 (B) 3 (C) 5

Svolgimento. Due pesate coprono al massimo 9 casi, e 10 e' maggiore di 9: non bastano. Tre pesate coprono fino a 27 casi: 3 pesate, risposta B. Schema: gruppi 4, 3, 3. Si pesano due gruppi da 3. Se un piatto scende, restano 3 sfere e la seconda pesata (1 contro 1) basta a individuare quella pesante. Se c'e' equilibrio, il pesante e' fra le 4 messe da parte: seconda pesata 1 contro 1 con 2 fuori; se equilibrio, restano 2 sfere e la terza pesata decide. La risposta A e' il distrattore di chi vede "10 e' quasi 9"; la C (5) di chi divide 10 per 2.

Quesito. Hai 30 palline apparentemente identiche, una e' piu' pesante. Quante pesate servono al minimo? (A) 3 (B) 4 (C) 10

Svolgimento. Con 3 pesate si arriva al massimo a 27 palline (3 x 3 x 3), e 30 supera 27. Con 4 pesate si arriva a 81, quindi servono 4 pesate, risposta B. Verifica: gruppi 10, 10, 10; dopo la prima pesata se ne tengono 10, e 10 si risolvono in 3 pesate (esempio precedente), per un totale di 1 + 3 = 4. La risposta A e' la trappola del confine: 27 va ancora bene, 28 no. La C (10) e' il numero di palline di un gruppo, scambiato per il numero di pesate.

Una variante piu' rara dice che l'oggetto diverso potrebbe essere piu' pesante oppure piu' leggero, senza saperlo. Qui ogni oggetto porta due possibilita' (e' pesante, e' leggero), quindi gli esiti da distinguere sono 2N e non N. Con 3 pesate si hanno 27 esiti, e il limite pratico per sapere sia quale oggetto sia diverso sia in che verso, senza alcuna moneta di riferimento extra, e' 12 oggetti. Il quesito classico con 12 monete e' quindi risolvibile in 3 pesate, e non in 2 (che distinguono solo 9 esiti, meno dei 24 casi possibili).

Quesito. Hai 12 monete d'aspetto identico: una sola ha peso diverso dalle altre, ma non sai se e' piu' pesante o piu' leggera. Quante pesate servono al minimo per individuarla e dire se e' piu' pesante o piu' leggera? (A) 2 (B) 3 (C) 4

Svolgimento. I casi possibili sono 12 x 2 = 24 (ogni moneta puo' essere pesante o leggera). Con 2 pesate si distinguono al massimo 9 esiti, meno di 24: non bastano. Con 3 pesate gli esiti possibili sono 27, e la strategia classica funziona: si pesano 4 monete contro 4. Se i piatti sono in equilibrio, la moneta diversa e' fra le 4 rimaste e le altre 8 sono sicuramente buone; seconda pesata: 2 delle 4 sospette contro 1 sospetta + 1 buona, e cosi' via fino alla terza pesata. Se i piatti non sono in equilibrio, le 4 rimaste sono tutte buone e si studiano le 8 sul piatto con scambi incrociati. Il risultato e' 3 pesate, risposta B. La C (4) e' la risposta di chi non conosce il limite di 12 e va "a prudenza".

10.3 Peso lordo, peso netto e tara

Questi tre termini descrivono le tre parti di una confezione e sono legati da una sola relazione:

peso lordo = peso netto + tara.

Il peso netto e' il peso del solo contenuto (la frutta, lo yogurt, i biscotti). La tara e' il peso del solo contenitore o imballaggio, quando e' vuoto (la cassetta, il vasetto, la scatola). Il peso lordo e' il peso di tutto insieme, contenuto e contenitore. Dalla relazione discendono le due formule inverse: netto = lordo - tara, e tara = lordo - netto. Se la confezione contiene N pezzi uguali di peso p, il netto e' N x p e il lordo e' tara + N x p.

La trappola dei quesiti e' sempre la stessa: tra le opzioni compaiono tutti i numeri ottenibili con le operazioni sbagliate, tipicamente la somma al posto della differenza e viceversa. La difesa e' dare un nome a ogni numero del testo prima di calcolare ("650 e' il lordo, 110 e' la tara") e controllare che il risultato sia compatibile: il netto e' sempre minore del lordo, il lordo e' sempre maggiore sia del netto sia della tara.

Quesito. Un vasetto di vetro pieno di marmellata ha peso lordo di 650 g. Il vasetto vuoto pesa 110 g. Quanto vale il peso netto della marmellata? (A) 540 g (B) 760 g (C) 450 g

Svolgimento. Il lordo e' 650 g, la tara e' 110 g, il netto e' la differenza: 650 - 110 = 540 g, risposta A. La B (760 g) e' 650 + 110, la somma al posto della differenza, e supera il lordo, il che e' impossibile per un netto.

Quesito. Una cassetta contiene 9 pere del peso di 180 g ciascuna. Il peso lordo della cassetta e' 1.900 g. Quanto vale la tara? (A) 280 g (B) 1.620 g (C) 220 g

Svolgimento. Il netto e' il peso delle pere: 9 x 180 = 1.620 g. La tara e' lordo meno netto: 1.900 - 1.620 = 280 g, risposta A. La B (1.620 g) e' il netto, cioe' la grandezza intermedia scambiata per quella cercata; e' la risposta di chi si ferma a meta' del calcolo.

Quesito. Un contenitore vuoto pesa 85 g. Vi vengono inseriti 15 biscotti da 12 g ciascuno. Quale e' il peso lordo? (A) 265 g (B) 180 g (C) 97 g

Svolgimento. Netto: 15 x 12 = 180 g. Lordo: tara + netto = 85 + 180 = 265 g, risposta A. La B (180 g) e' solo il contenuto; la C (97 g) e' 85 + 12, cioe' e' stato aggiunto un biscotto solo.

Nei quesiti piu' difficili i dati sono espressi in percentuale. Il punto critico e' rispetto a quale peso e' calcolata la percentuale: e' la stessa insidia delle variazioni percentuali del capitolo 7. Se la percentuale e' riferita al lordo, il lordo vale il 100%; se e' riferita al netto, e' il netto a valere il 100%, e il lordo vale il 100% + la percentuale della tara.

Quesito. Una cassa piena di zucchine pesa 60 kg. Il peso delle zucchine e' il 95% del peso lordo. Quanto pesa la tara? (A) 3 kg (B) 57 kg (C) 2,85 kg

Svolgimento. Il contenuto e' il 95% del lordo, quindi la tara e' il restante 5% del lordo: 5% di 60 = 60 x 0,05 = 3 kg, risposta A. La B (57 kg) e' il peso delle zucchine, cioe' il netto, non la tara. La C (2,85 kg) e' il 5% di 57: l'errore di applicare la percentuale al netto invece che al lordo.

Quesito. Una confezione ha peso lordo di 500 g. La tara e' pari al 25% del peso netto. Quanto pesa il contenuto? (A) 400 g (B) 375 g (C) 125 g

Svolgimento. Qui la percentuale e' riferita al netto. Chiamando N il netto, la tara vale N x 0,25 e il lordo e' N + 0,25 N = 1,25 N. Dunque 1,25 N = 500 e N = 500 diviso 1,25 = 400 g, risposta A (tara 100 g, e infatti 100 e' il 25% di 400). La B (375 g) e' 500 - 125, cioe' si e' calcolato il 25% del lordo e lo si e' tolto; la C (125 g) e' la tara sbagliata scambiata per il contenuto.

10.4 Carichi, unita' di misura, viaggi e dati sufficienti

Unita' di misura. I distrattori sfruttano le conversioni. Da ricordare: 1 kg = 1.000 g; 1 ettogrammo (hg) = 100 g; 1 quintale = 100 kg; 1 tonnellata = 1.000 kg. Conviene sempre convertire tutto nell'unita' piu' piccola prima di calcolare, e convertire alla fine nell'unita' richiesta dalla domanda. Quando la domanda chiede "quanti quintali" e le opzioni sono 0,105 / 1,05 / 10,5, l'errore tipico e' fermarsi ai chilogrammi o spostare la virgola di un posto sbagliato.

Quesito. La scatola A pesa 5 volte la somma dei pesi delle scatole B e C. La scatola C pesa 0,6 kg e la scatola B pesa 900 grammi in piu' di C. Quanti quintali pesa A? (A) 0,105 (B) 1,05 (C) 10,5

Svolgimento. C = 0,6 kg = 600 g. B = 600 + 900 = 1.500 g = 1,5 kg. Somma B + C = 2,1 kg. A = 5 x 2,1 = 10,5 kg. Un quintale e' 100 kg, quindi 10,5 kg = 10,5 diviso 100 = 0,105 quintali, risposta A. La C (10,5) e' il valore in kg lasciato senza convertire; la B (1,05) e' una conversione con la virgola spostata di un posto sbagliato.

La tara su ogni confezione. Quando la tara e' data come percentuale del peso di ciascuna confezione, il netto di ogni confezione e' il suo peso lordo moltiplicato per (1 meno la percentuale). Se poi una parte viene venduta, bisogna decidere se si sottrae dal netto (il prodotto venduto) o dal lordo: il quesito dice quasi sempre quale, ma i distrattori contengono entrambe le scelte.

Quesito. Sei casse di arance pesano 25 kg ciascuna, e la tara e' l'8% del peso di ciascuna cassa. Se ne vendono 2 casse (intere, con il loro contenuto), qual e' il peso netto delle arance rimaste? (A) 92 kg (B) 100 kg (C) 88 kg

Svolgimento. Netto di una cassa: 25 x 0,92 = 23 kg (tara 2 kg). Dopo la vendita di 2 casse ne restano 4: 4 x 23 = 92 kg, risposta A. La B (100 kg) trascura la tara (4 x 25 = 100, e' il lordo). La C (88 kg) e' 6 x 23 - 2 x 25 = 138 - 50: si e' sottratto il lordo delle casse vendute da un netto, mescolando due grandezze diverse.

Quesito. Tre ceste di verdura pesano 20 kg ciascuna (peso lordo) e la tara e' il 10% del peso di ciascuna cesta. Vengono venduti 9 kg di verdura. Qual e' il peso netto rimanente? (A) 45 kg (B) 51 kg (C) 54 kg

Svolgimento. Netto di una cesta: 20 x 0,90 = 18 kg. Netto totale: 3 x 18 = 54 kg. Venduti 9 kg di verdura: 54 - 9 = 45 kg, risposta A. La B (51 kg) toglie i 9 kg dal lordo totale (60 - 9) senza scontare la tara; la C (54 kg) e' il netto prima della vendita, risposta di chi dimentica l'ultimo passaggio.

Problemi di viaggi (ascensore, furgone, barca). Si chiede quanti viaggi servono per trasportare un carico, con un limite di portata. Procedimento: (1) calcola il carico totale; (2) calcola la portata utile di un viaggio, sottraendo il peso di chi accompagna il carico, che viaggia anch'esso; (3) dividi il totale per la portata utile e arrotonda per eccesso, perche' i viaggi non si frazionano; (4) verifica che sia davvero possibile riempire i viaggi, controllando che i singoli pezzi (indivisibili) permettano di sfruttare la portata. Eventuali altri limiti scritti nel cartello (ad esempio il numero di persone) sono spesso irrilevanti.

Quesito. Un corriere deve portare al quarto piano 40 casse da 25 kg e 30 scatole da 6 kg. L'ascensore ha il cartello "carico massimo 400 kg", e il corriere, che sale con il carico, pesa 80 kg. Qual e' il minimo numero di viaggi? (A) 4 (B) 3 (C) 5

Svolgimento. Carico totale: 40 x 25 = 1.000 kg di casse, 30 x 6 = 180 kg di scatole, in tutto 1.180 kg. Portata utile per viaggio: 400 - 80 = 320 kg. 1.180 diviso 320 = 3,69: servono almeno 4 viaggi (3 viaggi porterebbero al massimo 960 kg). Verifica che 4 bastino: 12 casse (300 kg) piu' 3 scatole (18 kg) fanno 318 kg per viaggio; tre viaggi cosi' portano 36 casse e 9 scatole; restano 4 casse (100 kg) e 21 scatole (126 kg), cioe' 226 kg, che stanno nel quarto viaggio. Risposta A. La B (3) e' di chi dimentica il peso del corriere: 1.180 diviso 400 = 2,95, arrotondato a 3, ma con 400 kg di portata non c'e' spazio per lui; la C e' un'abbondanza non necessaria.

Equazioni con frazioni di un insieme. Quando un testo racconta "aggiunge un quarto di quelli gia' raccolti, ovvero 5", il numero dato identifica la frazione e permette di risalire al totale: se un quarto e' 5, il totale e' 20. Si procede passo passo, aggiornando il totale ad ogni tappa.

Quesito. Un operaio raccoglie alcuni dadi di ottone identici. In un secondo reparto ne aggiunge un numero pari a un quarto di quelli gia' raccolti, ovvero 5. In un ultimo reparto ne raccoglie altri pari a un quinto di quelli ora in suo possesso. Aggiungendo ancora 2 dadi, il peso complessivo della raccolta e' di 1,6 ettogrammi. Quanto pesa un dado? (A) 5 g (B) 8 g (C) 50 g

Svolgimento. Un quarto dei dadi iniziali e' 5, quindi all'inizio ce n'erano 20. Dopo il secondo reparto: 20 + 5 = 25. Un quinto di 25 e' 5, quindi dopo l'ultimo reparto: 25 + 5 = 30. Con 2 dadi in piu': 32 dadi. Il peso totale e' 1,6 hg = 160 g. Peso di un dado: 160 diviso 32 = 5 g, risposta A. La B (8 g) deriva da 160 diviso 20, cioe' dal contare solo i dadi iniziali; la C (50 g) e' la virgola spostata nella conversione degli ettogrammi (1,6 hg e' 160 g, non 1.600 g).

Dati sufficienti. Alcuni quesiti sui pesi non chiedono il valore, ma se i dati (1) e (2) bastano a trovarlo. Il ragionamento corretto e' sempre lo stesso: per conoscere il peso totale esatto servono tutti i numeri che lo compongono, cioe' per ogni tipo di oggetto il peso unitario e il numero di oggetti. Se un peso unitario e' dato solo come intervallo ("da 20 a 28 kg ciascuna"), il totale non e' mai esatto, qualunque cosa dicano le affermazioni (1) e (2). Se invece i pesi unitari sono fissi, bisogna verificare quali delle due informazioni fissano i numeri: spesso ciascuna da sola non basta e servono insieme, altre volte nemmeno insieme (e' il caso di una disuguaglianza come "sono meno di 10" che non individua un valore).

Quesito. Un corriere consegna scatole che pesano 12 kg ciascuna e buste che pesano 5 kg ciascuna. Qual e' esattamente il peso totale? (1) Le scatole sono 7. (2) Le buste sono il doppio delle scatole. (A) Bastano la (1) e la (2) insieme (B) Basta la sola (1) (C) Nessuna combinazione basta

Svolgimento. Con la sola (1) si sa che le scatole pesano 7 x 12 = 84 kg, ma non quante buste ci sono. Con la sola (2) si conosce il rapporto fra i numeri ma non il numero delle scatole. Insieme: 7 scatole, quindi 14 buste, e il totale e' 84 + 14 x 5 = 84 + 70 = 154 kg. Risposta A: i dati sono sufficienti solo se presi insieme.

Quesito. Un furgone trasporta casse che pesano da 20 kg a 28 kg ciascuna e sacchi da 4 kg ciascuno. Qual e' esattamente il peso totale? (1) Le casse sono 15. (2) I sacchi sono 30. (A) Bastano la (1) e la (2) insieme (B) Basta la sola (1) (C) Nessuna combinazione basta

Svolgimento. I sacchi sono completamente determinati: 30 x 4 = 120 kg. Le casse, invece, sono 15 ma ciascuna pesa un valore sconosciuto compreso tra 20 e 28 kg: il loro peso totale puo' andare da 300 a 420 kg, quindi il totale non e' esatto. Nessuna informazione fornisce il peso unitario delle casse, per cui nessuna combinazione basta, risposta C. E' il caso tipico in cui "ci sono tutti i numeri" ma l'intervallo di peso rende impossibile la risposta esatta.

Quesito. Un facchino consegna pacchi da 6 kg e pacchi da 4 kg. Qual e' esattamente il peso totale? (1) I pacchi da 6 kg sono meno di 10. (2) Il numero dei pacchi da 4 kg e' uguale a quello dei pacchi da 6 kg. (A) Bastano la (1) e la (2) insieme (B) Basta la sola (2) (C) Nessuna combinazione basta

Svolgimento. Detto n il numero dei pacchi da 6 kg, il totale e' 6n + 4n = 10n. La (2) fornisce questo legame, ma non n. La (1) dice solo che n e' minore di 10, quindi n puo' valere 1, 2, ..., 9. Anche insieme le due informazioni lasciano nove totali possibili (10, 20, ..., 90 kg): nessuna combinazione basta, risposta C. La disuguaglianza non e' mai un dato sufficiente per un calcolo esatto.

10.5 Equilibrio con combinazioni di masse diverse

In alcuni quesiti la bilancia ha i bracci uguali ma il peso degli oggetti e' dato come rapporto: "i tiramisu hanno massa doppia rispetto ai bomboloni, le sfoglie hanno massa pari alla meta' dei bomboloni". Si chiede quale combinazione porta i piatti in equilibrio. Il metodo e' scegliere come unita' la massa piu' piccola ed esprimere tutto in quella unita' con numeri interi. Poi si calcola il peso di ciascun piatto e si cerca l'uguaglianza. Con frazioni e multipli di mezzo, terzo o doppio non conviene mai tenere i dati come frazioni: la conversione in unita' elimina l'errore.

Quesito. Il pasticciere ha bigne', torte (con massa pari a 4 volte quella di un bigne') e cannoli (con massa pari a meta' di quella di un bigne'). Quale combinazione equilibra i due piatti? (A) 1 torta e 2 cannoli a sinistra, 5 bigne' a destra (B) 2 torte a sinistra, 3 bigne' e 6 cannoli a destra (C) 1 torta e 4 cannoli a sinistra, 5 bigne' a destra

Svolgimento. L'oggetto piu' leggero e' il cannolo: lo prendiamo come unita' (1). Allora un bigne' vale 2 unita' e una torta, che e' 4 volte un bigne', vale 8 unita'. Verifica delle tre combinazioni. (A) Sinistra: 8 + 2 x 1 = 10; destra: 5 x 2 = 10. Equilibrio. (B) Sinistra: 2 x 8 = 16; destra: 3 x 2 + 6 x 1 = 12. Non in equilibrio. (C) Sinistra: 8 + 4 x 1 = 12; destra: 5 x 2 = 10. Non in equilibrio. La risposta e' A. La C e' pensata per chi tratta il cannolo come "mezzo bigne'" ma poi ne conta 4 invece di 2.

Quesito. Il pasticciere ha cornetti, crostate (con massa tripla di quella di un cornetto) e sfoglie (con massa pari a un terzo di quella di un cornetto). Quale combinazione porta in equilibrio i piatti? (A) 2 crostate a sinistra, 5 cornetti a destra (B) 1 crostata e 3 sfoglie a sinistra, 4 cornetti a destra (C) 2 crostate e 6 sfoglie a sinistra, 7 cornetti a destra

Svolgimento. L'oggetto piu' leggero e' la sfoglia: unita' (1). Un cornetto vale 3 unita' (la sfoglia e' un terzo del cornetto) e una crostata vale 3 x 3 = 9 unita'. (A) Sinistra: 2 x 9 = 18; destra: 5 x 3 = 15. No. (B) Sinistra: 9 + 3 x 1 = 12; destra: 4 x 3 = 12. Equilibrio. (C) Sinistra: 2 x 9 + 6 x 1 = 24; destra: 7 x 3 = 21. No. La risposta e' B. Notare che le due combinazioni sbagliate sono "quasi" corrette: sono costruite per chi non converte tutto nella stessa unita' e confronta solo i numeri di oggetti.

10.6 Orologi: aggiungere ore e minuti scavalcando il giorno

I quesiti sugli orologi chiedono che ora e che giorno saranno (o erano) dopo (o prima di) un intervallo dato, ad esempio "le 16.20 di mercoledi'; tra 30 ore e 50 minuti saranno...". Le risposte sono in formato a 24 ore e differiscono sia per l'ora (di 12 ore, per chi sbaglia il mezzogiorno) sia per il giorno. Il metodo e' sempre uno:

1. Somma prima i minuti. Se superano 60, togli 60 e aggiungi 1 alle ore.
2. Scomponi le ore dell'intervallo. Le ore dell'intervallo (non l'ora di partenza), divise per 24, danno i giorni interi da aggiungere (il quoziente) e le ore che restano (il resto).
3. Aggiorna il giorno della settimana. Somma le ore che restano all'ora di partenza: se il risultato e' 24 o piu', togli 24 e aggiungi un giorno a quelli interi trovati al passo 2.

Un modo equivalente e meno soggetto a errori: scomponi l'intervallo in giorni interi piu' il resto. 30 ore sono 1 giorno e 6 ore: si avanza di un giorno (stessa ora) e poi di 6 ore. Un giorno intero non cambia l'ora, cambia solo il nome del giorno. Cosi' si lavora con numeri piccoli. Attenzione all'orario a cavallo della mezzanotte: lo 0.10 e' l'inizio del giorno successivo, non la fine del precedente.

Quesito. L'orologio segna le 16.20 di mercoledi'. Che ora sara' tra 30 ore e 50 minuti? (A) le 23.10 di giovedi' (B) le 23.10 di venerdi' (C) le 11.10 di giovedi'

Svolgimento. Prima i minuti: 16.20 + 50 minuti = 17.10 (20 + 50 = 70 minuti = 1 ora e 10, quindi l'ora sale a 17 e i minuti scendono a 10). Poi le 30 ore: sono 1 giorno + 6 ore. Un giorno dopo mercoledi' 17.10 e' giovedi' 17.10; sei ore dopo sono le 23.10 di giovedi', senza scavalcare la mezzanotte. Risposta A. La B e' di chi aggiunge un giorno in piu' a causa delle 30 ore "che superano le 24" contandole due volte; la C e' di chi sbaglia di 12 ore.

Quesito. L'orologio segna le 21.40 di sabato. Che ora sara' tra 51 ore e 35 minuti? (A) la 1.15 di martedi' (B) la 1.15 di lunedi' (C) la 1.15 di mercoledi'

Svolgimento. Minuti: 21.40 + 35 minuti = 22.15 (40 + 35 = 75 = 1 ora e 15; 21 + 1 = 22). Ore: 51 = 2 x 24 + 3, cioe' due giorni interi piu' 3 ore. Due giorni dopo sabato: lunedi', con orario 22.15. Altre 3 ore: 22.15 + 3 ore = 25.15, che e' la 1.15 del giorno dopo. Quindi martedi' alle 1.15. Risposta A. La B dimentica che le ultime 3 ore scavalcano la mezzanotte; la C aggiunge un giorno di troppo (conta l'1.15 come se fosse ancora "un giorno dopo il giorno dopo").

Il procedimento funziona anche all'indietro, ("N ore fa"): si sottraggono i giorni interi e poi le ore rimanenti, riportando di un giorno se si va sotto lo 0.00.

Quesito. Sono le 7.10 di lunedi'. Che ora era 40 ore fa? (A) le 15.10 di sabato (B) le 15.10 di domenica (C) le 23.10 di sabato

Svolgimento. 40 ore sono 1 giorno + 16 ore. Un giorno prima di lunedi' 7.10 e' domenica 7.10. Ora togliamo 16 ore: da 7.10 si arriva alle 0.00 sottraendo 7 ore e 10 minuti; restano da togliere 16 - 7,10 = 8 ore e 50 minuti, che ci portano a sabato, a 24.00 meno 8 ore e 50 minuti = 15.10. Verifica rapida: sabato 15.10 + 40 ore = domenica 15.10 + 16 ore = lunedi' 7.10. Risposta A. La B e' di chi toglie le 16 ore e dimentica di scendere di un giorno; la C e' di chi sbaglia nel passaggio dalle 0.00.

10.7 Calendari: giorni della settimana, mesi e anni bisestili

Il giorno della settimana si ripete ogni 7 giorni. Dunque, per sapere che giorno sara' fra N giorni, conta solo il resto della divisione di N per 7: i multipli di 7 non cambiano il giorno. Se il resto e' 0 il giorno e' lo stesso; se e' 1 e' il successivo; se e' 2 e' quello dopo il successivo, e cosi' via. Per i giorni passati si procede all'indietro.

Per spostarsi tra due date nello stesso anno bisogna contare i giorni di mese. Ricorda: 31 giorni a gennaio, marzo, maggio, luglio, agosto, ottobre, dicembre; 30 ad aprile, giugno, settembre, novembre; febbraio ha 28 giorni, 29 negli anni bisestili. Un anno ordinario ha 365 giorni, cioe' 52 settimane piu' 1 giorno: la stessa data, l'anno dopo, cade di un giorno della settimana piu' avanti. Un anno bisestile ha 366 giorni, cioe' 52 settimane piu' 2 giorni: ma questo vale solo se tra le due date c'e' il 29 febbraio.

Regola degli anni bisestili: un anno e' bisestile se e' divisibile per 4, tranne gli anni che chiudono un secolo (divisibili per 100), che sono bisestili solo se divisibili per 400. Quindi 2024, 2028 e 2096 sono bisestili; 1900 e 2100 non lo sono; 2000 e 2400 si'. Il trucco dei quesiti e' proprio gli anni di secolo: 2100 sembra bisestile perche' divisibile per 4, ma non lo e'.

Attenzione ai conteggi con le date: "dal 5 al 20 compresi" sono 16 giorni (20 - 5 + 1), mentre "tra il 5 e il 20" sono 15 giorni di differenza. Leggere se il testo include gli estremi.

Quesito. Oggi e' giovedi'. Che giorno della settimana sara' fra 100 giorni? (A) sabato (B) venerdi' (C) lunedi'

Svolgimento. Dividiamo 100 per 7: 100 = 14 x 7 + 2. Le 14 settimane intere riportano a giovedi'; restano 2 giorni: venerdi', sabato. Risposta A, sabato. La B (venerdi') e' di chi ragiona con 1 giorno di resto, la C (lunedi'), di chi aggiunge 4 giorni (usando 100 diviso 7 = 14,28 e arrotondando male).

Quesito. In un anno non bisestile il 12 gennaio cade di lunedi'. Di che giorno cade il 3 marzo? (A) martedi' (B) mercoledi' (C) lunedi'

Svolgimento. Contiamo i giorni dal 12 gennaio al 3 marzo. Dal 12 al 31 gennaio ci sono 31 - 12 = 19 giorni; febbraio ha 28 giorni, in un anno non bisestile; a questi si aggiungono i 3 giorni di marzo: 19 + 28 + 3 = 50 giorni. 50 = 7 x 7 + 1, resto 1: il giorno e' il successivo a lunedi', cioe' martedi', risposta A. Se l'anno fosse stato bisestile i giorni sarebbero stati 51, resto 2, e il 3 marzo sarebbe caduto di mercoledi' (risposta B): e' proprio la trappola del quesito, che punta sul dimenticare il 29 febbraio.

Quesito. Se il 1 marzo 2027 cade di lunedi', di che giorno cade il 1 marzo 2028? (A) mercoledi' (B) martedi' (C) giovedi'

Svolgimento. Fra il 1 marzo 2027 e il 1 marzo 2028 c'e' il 29 febbraio 2028 (il 2028 e' divisibile per 4 e non e' un anno di secolo, quindi e' bisestile). Il periodo dura dunque 366 giorni = 52 x 7 + 2: il giorno avanza di 2. Lunedi' + 2 = mercoledi', risposta A. La B e' la risposta di chi applica il "+1" dell'anno ordinario senza accorgersi del 29 febbraio; la C e' una distrazione di conteggio.

Quesito. Quale tra i seguenti anni e' bisestile? (A) 2100 (B) 2096 (C) 2102

Svolgimento. 2100 e' divisibile per 4 ma e' un anno di secolo e non e' divisibile per 400, quindi non e' bisestile. 2102 non e' divisibile per 4. 2096 e' divisibile per 4 (2096 = 4 x 524) e non e' un anno di secolo: e' bisestile, risposta B. Il distrattore A e' il piu' scelto.

10.8 Il tempo come grandezza: fusi orari, tariffe, ritmi e fatturazioni

Il tempo compare nei quesiti anche come grandezza da usare nei conti. Quattro situazioni ricorrono.

Fusi orari. Si trasformano i riferimenti ("2 ore fa", "tra 7 ore") nell'ora attuale di ciascuno: da "4 ore fa era mezzogiorno" si ricava che ora sono le 16; da "fra 3 ore sara' mezzanotte" che ora sono le 21. La differenza e' fra le ore attuali. La trappola e' sommare i due intervalli.

Quesito. Per Luca, 4 ore fa era mezzogiorno. Per Sara, fra 3 ore sara' mezzanotte. Quale e' la differenza di fuso orario fra i due? (A) 5 ore (B) 7 ore (C) 1 ora

Svolgimento. Per Luca ora sono le 12 + 4 = 16. Per Sara ora sono le 24 - 3 = 21. La differenza e' 21 - 16 = 5 ore, risposta A. La B (7 ore) e' 4 + 3: la somma dei due intervalli, che non ha senso fisico perche' i due intervalli partono da momenti diversi.

Tariffe a tempo frazionabile. Se il prezzo e' "ogni 20 minuti, frazionabili", si paga in proporzione: la durata si esprime in minuti, si divide per l'unita' di tempo, e si moltiplica per il prezzo. Se la tariffa non e' frazionabile, si arrotonda per eccesso al periodo successivo.

Quesito. Un noleggio costa 3 euro ogni 20 minuti, frazionabili. Per 1 ora e 10 minuti, quanto si paga? (A) 10,50 euro (B) 12 euro (C) 9 euro

Svolgimento. 1 ora e 10 minuti = 70 minuti. Diviso 20 minuti: 70 / 20 = 3,5 periodi. 3,5 x 3 = 10,50 euro, risposta A. La B (12 euro) e' il costo di 4 periodi pieni, valido solo se la tariffa non fosse frazionabile; la C (9 euro) tronca a 3 periodi.

Fatturazioni che cambiano frequenza. Se un abbonamento passa da mensile a "una ogni 28 giorni", in un anno le fatture non sono piu' 12 ma 365 / 28 = 13,03: si pagano 13 volte (13 x 28 = 364 giorni). Il costo annuo e' quindi importo x numero di fatture, e la variazione percentuale si calcola sui due totali annui, non sui due importi singoli.

Quesito. Un abbonamento passa da 20 euro al mese a 30 euro ogni 28 giorni. Di quanto cresce, su base annua, il costo? (A) 62,5% (B) 50% (C) 30%

Svolgimento. Prima: 20 x 12 = 240 euro all'anno. Dopo: nell'anno ci stanno 13 fatture da 28 giorni (365 diviso 28 e' circa 13), quindi 30 x 13 = 390 euro. Variazione: (390 - 240) / 240 = 150 / 240 = 0,625, cioe' +62,5%, risposta A. La B (50%) e' l'aumento del solo importo (da 20 a 30): ignora il cambio di frequenza, che e' l'effetto nascosto del quesito.

Anni contati a giorni parziali. Quando qualcuno "conta solo 3 giorni su 7", il suo conteggio e' 3/7 del vero: per risalire al valore reale si moltiplica per 7/3.

Quesito. Marco ha 40 anni. Elena dice di averne 24, contando pero' solo 3 giorni su 7. Quanti anni di differenza ci sono realmente tra Elena e Marco? (A) 16 (B) 32 (C) 20

Svolgimento. Elena conta 3 giorni ogni 7, quindi il suo conteggio e' i 3/7 del tempo reale. L'eta' reale e' 24 x 7 / 3 = 56 anni. La differenza con Marco e' 56 - 40 = 16 anni, risposta A. La B (32) e' la differenza fra l'eta' dichiarata e quella reale di Elena (56 - 24), cioe' non include Marco; la C (20) e' un valore scollegato dal calcolo.

Riepilogo del capitolo: nei pesi si lavora per unita' uniformi e si controlla che il netto sia minore del lordo; nelle bilance a bracci disuguali si moltiplica peso per braccio e il lato corto porta di piu'; nelle pesate minime si ragiona per potenze di 3 e non per meta'; negli orologi si somma prima i minuti, poi si scompone l'intervallo in giorni interi e resto; nei calendari conta solo il resto della divisione per 7, ricordando il 29 febbraio. In tutti i casi la risposta si trova in meno di un minuto se si dichiara prima che cosa rappresenta ciascun numero del testo.

11.1 Criteri di divisibilita': dire se un numero e' multiplo senza dividere

Un numero e' divisibile per un altro quando la divisione da' resto zero; in quel caso si dice anche che e' un multiplo del divisore. Nei quesiti di Logica il divisore e' quasi sempre un numero piccolo (da 2 a 12) e il numero da controllare puo' avere anche sei cifre: dividere a mano farebbe perdere minuti preziosi, mentre i criteri di divisibilita' danno la risposta guardando soltanto le cifre. Vanno conosciuti a memoria, perche' sono la base di tutto il capitolo.

Perche' funzionano. Il criterio del 3 e del 9 nasce dal fatto che 10, 100, 1.000... sono tutti uguali a un multiplo di 9 piu' 1: quindi un numero ha lo stesso resto, nella divisione per 3 e per 9, della somma delle sue cifre. I criteri del 2, del 5 e del 10 dipendono dall'ultima cifra perche' 10 e' multiplo di 2 e di 5; quello del 4 dipende dalle ultime due cifre perche' 100 e' multiplo di 4; quello dell'8 dalle ultime tre perche' 1.000 e' multiplo di 8. I criteri composti (6 e 12) non sono nuovi: si ottengono richiedendo due condizioni insieme, e le due condizioni devono riguardare numeri che non hanno fattori in comune. Per questo il 12 si controlla con 3 e 4, non con 2 e 6 (un numero come 18 e' divisibile per 2 e per 6, ma non per 12).

Il quesito 'gioco dei punti'. E' uno dei quesiti piu' ripetuti: un numero vale tot punti per ogni divisore di cui e' multiplo, e si chiede quale tra le alternative vale di piu' (o quanto vale un numero dato). Procedimento: per ogni alternativa si applicano uno a uno i criteri e si sommano tutti i punti dei divisori che valgono. La trappola e' fermarsi alla prima regola trovata, oppure non applicare nessuna regola a un numero che invece ne soddisfa una.

Quesito. Un gioco matematico prevede queste regole: se un numero e' divisibile per 4 vale 6 punti; se e' divisibile per 9 vale 5 punti; se e' divisibile per 7 vale 3 punti. I punti si sommano. Tra i numeri seguenti, quale vale di piu'? (A) 63 (B) 56 (C) 72 (D) 49

Svolgimento. 63: somma cifre 9, quindi multiplo di 9 (5 punti); 63 = 7 x 9, quindi anche multiplo di 7 (3 punti); le ultime due cifre 63 non sono multiplo di 4. Totale 8. 56: ultime due cifre 56 = 4 x 14, multiplo di 4 (6 punti); 56 = 7 x 8, multiplo di 7 (3 punti); somma cifre 11, non multiplo di 9. Totale 9. 72: 72 = 4 x 18, multiplo di 4 (6 punti); somma cifre 9, multiplo di 9 (5 punti); 72 non e' multiplo di 7 (7 x 10 = 70, resto 2). Totale 11. 49: solo multiplo di 7, 3 punti. Vince 72 con 11 punti, risposta C. La trappola e' il 56, che sembra forte perche' prende due regole su tre, ma il suo 6 + 3 vale meno del 6 + 5 di 72.

Divisibilita' per 12, 6 o 18: si scompone. Quando il divisore non ha un criterio proprio, lo si scompone in fattori che non hanno fattori comuni e si applicano i due criteri insieme. Un errore tipico e' fidarsi di un criterio incompleto: un numero divisibile per 3 e per 6 non e' per questo divisibile per 12.

Quesito. Quale dei seguenti numeri e' divisibile per 12? (A) 3.516 (B) 4.218 (C) 5.126

Svolgimento. Divisibile per 12 significa divisibile sia per 3 sia per 4. 3.516: somma cifre 3+5+1+6 = 15, multiplo di 3; ultime due cifre 16 = 4 x 4, multiplo di 4. Entrambi i criteri sono soddisfatti: 3.516 = 12 x 293. 4.218: somma cifre 15, multiplo di 3, ma 18 non e' multiplo di 4 (4 x 4 = 16, 4 x 5 = 20), quindi non e' divisibile per 12; e' divisibile per 6 (pari e multiplo di 3), che e' il distrattore. 5.126: somma cifre 14, non multiplo di 3. Risposta A.

Somma delle cifre di un numero. Compare spesso come 'quale numero ha somma delle cifre uguale a N'. Non c'e' nessun trucco: si sommano le cifre di ogni alternativa e si controlla il risultato. Il distrattore e' sempre un numero la cui somma e' vicina a quella cercata (un'unita' in piu' o in meno): conviene rifare la somma una seconda volta prima di rispondere.

Quesito. Quale dei seguenti numeri ha la somma delle cifre uguale a 21? (A) 785 (B) 678 (C) 869

Svolgimento. 785: 7+8+5 = 20. 678: 6+7+8 = 21. 869: 8+6+9 = 23. Solo 678 somma 21: risposta B. Il distrattore 785 ha la stessa struttura (tre cifre alte) ma risulta di una unita' piu' basso.

Cifre divisibili per un numero: le scritture in codice. Un tipo di quesito ricorrente assegna a gruppi di lettere il significato 'cifra singola divisibile per k' e chiede come scrivere un numero a due cifre. Qui conta ricordare che lo zero e' divisibile per qualunque numero e che una cifra va cercata fra 0 e 9: le cifre multiple di 3 sono 0, 3, 6, 9; di 4 sono 0, 4, 8; di 5 sono 0 e 5; di 6 sono 0 e 6; di 7 sono 0 e 7; di 8 sono 0 e 8; di 9 sono 0 e 9. Per ciascuna cifra del numero si cerca l'unico codice che la contiene.

Quesito. Se RAN significa 'cifra singola divisibile per 3', RUM significa 'cifra singola divisibile per 8' e RIT significa 'cifra singola divisibile per 5', con quale scrittura si puo' esprimere il numero 38? (A) RAN RUM (B) RUM RAN (C) RIT RUM

Svolgimento. Il numero 38 ha cifra delle decine 3 e cifra delle unita' 8, nell'ordine. Le cifre multiple di 3 sono 0, 3, 6, 9: il 3 appartiene quindi a RAN. Le cifre multiple di 8 sono 0 e 8: l'8 appartiene a RUM. Il 3 non e' multiplo di 5 e l'8 non e' multiplo di 5, quindi RIT e' escluso. L'ordine e' quello delle cifre: prima la cifra del 3, poi quella dell'8, cioe' RAN RUM, risposta A. La risposta B inverte l'ordine (scriverebbe 83), ed e' il distrattore da ordine.

Il criterio dell'11 in un caso concreto. Si usa quando il quesito pone una cifra incognita: si scrive la condizione 'somma dei posti dispari meno somma dei posti pari uguale a 0 o a un multiplo di 11' e si cerca la cifra.

Quesito. Quale cifra va messa al posto del punto interrogativo perche' il numero 3?5 sia divisibile per 11? (A) 3 (B) 8 (C) 5 (D) 0

Svolgimento. Le cifre di posto dispari (prima e terza) sono 3 e 5, somma 8; quella di posto pari e' la cifra incognita x. La differenza 8 - x deve essere 0 oppure un multiplo di 11: l'unica cifra possibile e' x = 8. Verifica: 385 : 11 = 35. Risposta B.

11.2 Multipli, divisori e numeri primi

I multipli di un numero sono i risultati della sua tabellina (7, 14, 21...); i divisori sono i numeri per cui si puo' dividerlo senza resto. Un numero e' primo se ha esattamente due divisori, 1 e se stesso (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...). Il numero 1 non e' primo e 2 e' l'unico primo pari. Un numero non primo si dice composto e si puo' scrivere in un solo modo come prodotto di primi: la scomposizione in fattori primi, da cui discende quasi tutto il resto.

Come si riconosce un numero primo. Non si prova a dividere per tutti i numeri: basta provare i numeri primi il cui quadrato non supera il numero in esame. Per sapere se 89 e' primo si provano 2, 3, 5 e 7 (il quadrato del prossimo primo, 11, e' 121, gia' oltre 89): se nessuno divide, il numero e' primo. Nei quesiti i distrattori sono quasi sempre numeri che 'sembrano' primi perche' dispari e non terminano per 5, ma si lasciano dividere da 3, da 7 o da 13.

Quesito. Quale dei seguenti numeri e' primo? (A) 91 (B) 87 (C) 89 (D) 93

Svolgimento. 91 e' dispari, non e' multiplo di 3 (somma cifre 10) ne' di 5, ma 91 = 7 x 13: composto. 87 ha somma cifre 15, quindi e' multiplo di 3 (87 = 3 x 29). 93 ha somma cifre 12, quindi e' multiplo di 3 (93 = 3 x 31). 89: non e' pari, la somma cifre 17 non e' multipla di 3, non finisce per 0 o 5, e 7 x 12 = 84 con resto 5, quindi 7 non lo divide. Nessun primo fino a 7 divide 89, e il primo successivo (11) ha quadrato 121 maggiore di 89: 89 e' primo, risposta C. Il 91 e' il distrattore classico: e' l'unico che resiste ai criteri 2, 3, 5.

Quanti divisori ha un numero. Si scompone in fattori primi, si prende ogni esponente, si aggiunge 1 e si moltiplica. La regola nasce dal fatto che un divisore si ottiene scegliendo, per ogni primo, quante volte compare: da 0 fino all'esponente, cioe' esponente + 1 possibilita' indipendenti.

Quesito. Quanti divisori positivi (1 e il numero stesso compresi) ha il numero 72? (A) 8 (B) 9 (C) 12 (D) 18

Svolgimento. Si scompone: 72 = 8 x 9 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2^3 x 3^2. Gli esponenti sono 3 e 2: i divisori sono (3 + 1) x (2 + 1) = 4 x 3 = 12, risposta C. Controllo diretto: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72, cioe' dodici. Il distrattore 9 (3 x 3) e' un numero senza significato, non il conteggio dei divisori, il 18 e' un divisore, non il numero dei divisori.

Il quadrato piu' grande con N tessere. Con N tessere quadrate uguali il quadrato massimo ha lato pari alla parte intera della radice quadrata di N: si cerca il quadrato perfetto piu' grande che non supera N. Le tessere in avanzo non si usano. Il perimetro e' quattro volte il lato, e va espresso nell'unita' richiesta dal quesito.

Quesito. La piccola Giulia gioca con 300 tessere quadrate tutte uguali e costruisce, affiancandole, il quadrato piu' grande possibile. Considerando il lato di una tessera come unita' u, quanto vale il perimetro del quadrato ottenuto? (A) 68 u (B) 300 u (C) 72 u

Svolgimento. Servono quadrati perfetti: 17 x 17 = 289, che non supera 300; 18 x 18 = 324, che lo supera. Il lato massimo e' quindi 17 tessere e restano 300 - 289 = 11 tessere inutilizzate. Il perimetro e' 4 x 17 = 68 u, risposta A. Il distrattore 72 u e' il perimetro del quadrato di lato 18 (non realizzabile); 300 u e' il numero di tessere preso per un perimetro.

Contare i multipli in un intervallo. Per sapere quanti multipli di k stanno tra a e b si trovano il primo e l'ultimo multiplo compresi nell'intervallo, si sottrae e si divide per k, e poi si aggiunge 1 (gli estremi vanno contati entrambi). Dimenticare il +1 e' l'errore piu' tipico.

Quesito. Quanti sono i multipli di 7 compresi tra 100 e 200? (A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 28

Svolgimento. Il primo multiplo di 7 maggiore di 100 e' 105 (7 x 15); l'ultimo minore di 200 e' 196 (7 x 28). Tra 7 x 15 e 7 x 28 ci sono 28 - 15 + 1 = 14 multipli, risposta B. Controllo: (196 - 105) : 7 = 13, e a 13 intervalli corrispondono 14 numeri. Il distrattore 13 e' il risultato che si ottiene dimenticando il +1.

11.3 MCM e MCD: eventi che si ripetono e suddivisioni in parti uguali

Due strumenti, due domande diverse, e quasi tutti gli errori derivano dallo scambiarli. Il minimo comune multiplo (MCM) e' il piu' piccolo numero che e' multiplo di tutti i numeri dati; il massimo comun divisore (MCD) e' il piu' grande numero che divide tutti i numeri dati. Per calcolarli si scompongono i numeri in fattori primi: l'MCM prende tutti i fattori, con l'esponente maggiore; l'MCD prende solo i fattori comuni, con l'esponente minore. Esempio: 12 = 2^2 x 3 e 18 = 2 x 3^2; MCM = 2^2 x 3^2 = 36; MCD = 2 x 3 = 6.

Come si capisce quale usare. Se la domanda parla di 'quando' o 'dopo quanto tempo' due fenomeni si ripresentano insieme (giri di pista, campane, luci lampeggianti, turni), si cerca un numero piu' grande dei dati in cui entrambi 'ci arrivano': si usa il MCM. Se la domanda parla di 'suddividere in parti uguali senza avanzi' (piastrelle, confezioni, gruppi), si cerca un numero piu' piccolo dei dati che entra in tutti: si usa il MCD. Controllo rapido: l'MCM non e' mai minore del numero maggiore tra quelli dati, l'MCD non e' mai maggiore del minore.

Quesito. Due ciclisti partono insieme dalla linea di partenza di una pista: il primo completa un giro ogni 12 secondi, il secondo ogni 18 secondi. Dopo quanto tempo si ritrovano insieme sulla linea per la prima volta? (A) 6 secondi (B) 36 secondi (C) 216 secondi

Svolgimento. Il primo passa sulla linea ai multipli di 12 (12, 24, 36...), il secondo ai multipli di 18 (18, 36...). Il primo istante comune e' il minimo comune multiplo: 12 = 2^2 x 3, 18 = 2 x 3^2, MCM = 2^2 x 3^2 = 36 secondi, risposta B. Il 6 e' l'MCD (distrattore da scambio dei due strumenti); il 216 e' il prodotto 12 x 18, che e' un multiplo comune ma non il minimo: il prodotto vale quanto l'MCM solo quando i due numeri non hanno fattori in comune.

Quesito. Tre campane suonano insieme alle 9:00. Poi la prima suona ogni 6 minuti, la seconda ogni 8 minuti e la terza ogni 10 minuti. A che ora suoneranno di nuovo insieme? (A) 9:24 (B) 10:00 (C) 11:00 (D) 12:00

Svolgimento. Si cerca il minimo comune multiplo di 6, 8 e 10. 6 = 2 x 3; 8 = 2^3; 10 = 2 x 5. Si prendono tutti i fattori con l'esponente maggiore: 2^3 x 3 x 5 = 120. Dopo 120 minuti, cioe' 2 ore, suoneranno insieme: 9:00 + 2 ore = 11:00, risposta C. La trappola e' fermarsi al multiplo comune di due soli numeri (24, MCM di 6 e 8, che porterebbe a 9:24, ma la terza campana non suona al minuto 24).

Quesito. Un pavimento rettangolare misura 360 cm per 240 cm. Si vuole coprirlo con piastrelle quadrate tutte uguali, intere e senza tagli, le piu' grandi possibili. Quante piastrelle servono? (A) 6 (B) 12 (C) 24

Svolgimento. Il lato della piastrella deve dividere sia 360 sia 240: serve il massimo comun divisore. 360 = 2^3 x 3^2 x 5; 240 = 2^4 x 3 x 5; fattori comuni con esponente minore: 2^3 x 3 x 5 = 120. Lato 120 cm: lungo 360 ne entrano 360 : 120 = 3, lungo 240 ne entrano 240 : 120 = 2. Totale 3 x 2 = 6 piastrelle, risposta A. Con lato piu' piccolo (60 cm, per esempio) se ne userebbero 24: il quesito chiede le piastrelle piu' grandi, e il loro numero e' minimo quando il lato e' massimo.

Quesito. Un negozio ha 48 penne e 72 quaderni e vuole preparare il maggior numero possibile di confezioni identiche, senza avanzi. Quante penne e quanti quaderni conterra' ogni confezione? (A) 2 penne e 3 quaderni (B) 4 penne e 6 quaderni (C) 24 penne e 24 quaderni

Svolgimento. Il numero di confezioni deve dividere sia 48 sia 72, e si vuole il massimo: MCD(48, 72). 48 = 2^4 x 3; 72 = 2^3 x 3^2; fattori comuni con l'esponente minore: 2^3 x 3 = 24 confezioni. Ogni confezione contiene 48 : 24 = 2 penne e 72 : 24 = 3 quaderni: risposta A. La domanda chiede il contenuto di una confezione, non il numero di confezioni: rispondere '24' e' il distrattore da lettura frettolosa.

11.4 Resto e problemi di ciclicita': che cosa compare in posizione N

Quando una successione si ripete sempre uguale (una parola scritta di seguito, i giorni della settimana, le cifre finali delle potenze), la posizione cercata e' lontana e non si puo' scrivere tutto: si usa il resto della divisione. Se il gruppo che si ripete ha lunghezza L, l'elemento in posizione N dipende solo dal resto della divisione N : L. Resto 1 significa primo elemento del gruppo, resto 2 secondo elemento... resto 0 significa ultimo elemento del gruppo, non 'primo' e non 'nessuno'. Questo e' l'errore piu' frequente: quando N e' esattamente multiplo di L la sequenza e' appena finita.

Quesito. Si scrive di seguito, senza spazi, la parola FORMULA ripetuta all'infinito: FORMULAFORMULAFORMULA... Quale lettera occupa la centesima posizione? (A) F (B) O (C) R (D) A

Svolgimento. Il gruppo che si ripete, FORMULA, ha 7 lettere. 100 : 7 = 14 con resto 2 (7 x 14 = 98, 100 - 98 = 2). Dopo 14 ripetizioni complete (98 lettere) servono ancora due lettere: la 99-esima e' F (resto 1) e la centesima e' O (resto 2), risposta B. Il distrattore F e' per chi si ferma alla posizione 99 o parte a contare da zero; il distrattore A (ultima lettera del gruppo) e' per chi confonde il resto 2 con il resto 0.

I giorni della settimana sono la ciclicita' piu' comune: il ciclo e' di 7 giorni, quindi basta il resto della divisione per 7 e si fa avanzare di quel numero di giorni, ignorando le settimane intere.

Quesito. Oggi e' mercoledi'. Che giorno della settimana sara' fra 150 giorni? (A) lunedi' (B) venerdi' (C) sabato (D) domenica

Svolgimento. 150 : 7 = 21 con resto 3 (7 x 21 = 147). 147 giorni sono 21 settimane esatte e riportano a un mercoledi'; restano 3 giorni: giovedi', venerdi', sabato. Risposta C. Il distrattore 'venerdi'' si ha avanzando di soli 2 giorni, per chi conta il giorno di partenza come primo: il giorno di partenza non si conta, si avanza di 3.

Ultima cifra di una potenza. Le ultime cifre delle potenze di un numero si ripetono in un ciclo breve, e il ciclo permette di rispondere senza calcolare nulla. Le potenze di 3 terminano nell'ordine 3, 9, 7, 1, e poi ricominciano: il ciclo e' di lunghezza 4. Quindi l'ultima cifra di 3^n dipende dal resto di n diviso 4.

Quesito. Qual e' l'ultima cifra del numero 3^47 (3 moltiplicato per se stesso 47 volte)? (A) 1 (B) 3 (C) 7 (D) 9

Svolgimento. Le ultime cifre di 3^1, 3^2, 3^3, 3^4 sono nell'ordine 3, 9, 7, 1, poi si ripete (3^5 termina per 3). Il ciclo e' di 4 posti. 47 : 4 = 11 con resto 3 (4 x 11 = 44): la potenza 3^47 ha la stessa ultima cifra di 3^3, cioe' 7. Risposta C. Il distrattore 1 si ha scambiando il resto 3 con il 'resto 0' di un multiplo di 4.

Numeri con resti assegnati. Per un numero che 'diviso per a da' resto r e diviso per b da' resto s' si guarda se la differenza fra divisore e resto e' la stessa: se a - r = b - s = d, allora n + d e' multiplo comune dei due divisori e il piu' piccolo e' MCM(a, b) - d. Se le differenze non coincidono si prova per tentativi sui multipli del divisore maggiore.

Quesito. Qual e' il piu' piccolo numero naturale che diviso per 5 da' resto 3 e diviso per 6 da' resto 4? (A) 18 (B) 28 (C) 33 (D) 58

Svolgimento. Il resto e' sempre 2 meno del divisore (5 - 3 = 2 e 6 - 4 = 2): quindi, aggiungendo 2, il numero diventa multiplo sia di 5 sia di 6. Il piu' piccolo multiplo comune e' MCM(5, 6) = 30, e il numero cercato e' 30 - 2 = 28. Verifica: 28 = 5 x 5 + 3 e 28 = 6 x 4 + 4. Risposta B. Il 33 da' resto 3 con il 5 ma resto 3 (non 4) con il 6; il 58 e' valido ma non e' il piu' piccolo.

11.5 Lettere che rappresentano cifre: pari, dispari e proprieta' di un numero

Un'intera famiglia di quesiti sostituisce le cifre con lettere ('P e' una qualunque cifra pari, D una qualunque cifra dispari...') e chiede di che natura e' il numero che si ottiene scrivendo le lettere in fila: pari o dispari, di quante cifre, divisibile per... Non serve provare con dei numeri a caso: serve conoscere quali proprieta' di un numero dipendono da una sola cifra. In particolare, la parita' di un numero (e la divisibilita' per 5 e per 10) dipende solo dalla cifra delle unita', cioe' dalla lettera piu' a destra. Le altre lettere decidono soltanto il numero di cifre.

Convenzione. Una lettera vale una cifra: il numero ottenuto scrivendo quattro lettere di seguito si considera di quattro cifre, anche quando la lettera della prima posizione, in teoria, potrebbe valere 0. Il quesito si risolve ragionando sul tipo di cifra, non sui casi limite.

Il procedimento ha tre passi: (1) leggere l'ultima lettera e dedurre pari o dispari; (2) contare le lettere per sapere quante cifre ha il numero; (3) scartare le opzioni che contraddicono uno dei due fatti. Le tre alternative sono quasi sempre costruite cosi': una giusta, una con la parita' sbagliata, una con il numero di cifre sbagliato.

Quesito. Se la lettera T identifica una qualunque cifra, la lettera D una qualunque cifra dispari e la lettera P una qualunque cifra pari, allora TTDD e' un numero: (A) pari di quattro cifre (B) dispari di quattro cifre (C) dispari di due cifre

Svolgimento. Il numero ha quattro lettere, quindi quattro cifre: l'opzione C ('due cifre') e' esclusa. L'ultima lettera e' D, una cifra dispari: un numero e' dispari quando termina con una cifra dispari, qualunque siano le altre cifre. Quindi TTDD e' dispari di quattro cifre, risposta B. La lettera P non compare nel numero: serve solo da dato in piu', come accade spesso in questi quesiti.

Quesito. Se la lettera Z identifica una qualunque cifra, la lettera P una qualunque cifra pari e la lettera D una qualunque cifra dispari, allora DZZP e' un numero: (A) pari di quattro cifre (B) dispari di quattro cifre (C) pari di due cifre

Svolgimento. Quattro lettere, quattro cifre: esclusa l'opzione C. L'ultima lettera e' P, una cifra pari: il numero e' pari, a prescindere da D che e' dispari ma sta all'inizio. Risposta A. Il distrattore B e' per chi guarda la prima lettera (D, dispari) invece dell'ultima.

Somme e prodotti. Qui non si ragiona sull'intero numero ma sulle regole della parita': pari + pari = pari; dispari + dispari = pari; pari + dispari = dispari; pari x qualunque = pari; dispari x dispari = dispari. Per un prodotto di due numeri basta che uno dei due sia pari perche' il risultato sia pari. Per una somma conta il tipo di entrambi.

Quesito. Se la lettera R identifica una qualunque cifra pari e la lettera S una qualunque cifra, allora il prodotto tra i numeri SR e RS e' certamente un numero: (A) dispari (B) pari (C) divisibile per 3 (D) dispari di due cifre

Svolgimento. SR e' un numero che termina con R, cifra pari: SR e' pari. Per la regola 'pari x qualunque = pari', il prodotto SR x RS e' pari, anche senza sapere nulla di RS. Risposta B. Le opzioni 'divisibile per 3' e 'dispari di due cifre' non sono garantite: dipendono dai valori scelti per S ed R (un prodotto di due numeri di due cifre ha di norma tre o quattro cifre). Quando i dati lasciano libera una cifra, solo cio' che vale per ogni scelta e' 'certamente' vero.

Quesito. Se la lettera D identifica una qualunque cifra dispari e la lettera S una qualunque cifra, allora la somma tra i numeri SD e DD e' certamente un numero: (A) dispari (B) pari (C) multiplo di 5

Svolgimento. SD termina con D, cifra dispari: SD e' dispari. DD termina con D, cifra dispari: DD e' dispari. La somma di due dispari e' pari (per esempio 13 + 11 = 24, 59 + 77 = 136). Risposta B. Il distrattore A scambia 'tutti gli addendi sono dispari' con 'la somma e' dispari'; il multiplo di 5 non e' garantito, perche' la cifra finale dipende da D.

11.6 Probabilita' elementare

La probabilita' di un evento, quando tutti i casi sono ugualmente possibili, e' il rapporto casi favorevoli / casi possibili. E' un numero fra 0 (evento impossibile) e 1 (evento certo), e si puo' scrivere come frazione, decimale o percentuale: 1/4 = 0,25 = 25%. Nei quesiti il compito sta tutto nel contare bene i due insiemi, senza sbagliare quale dei due va al denominatore. La frazione va sempre semplificata prima di confrontarla con le opzioni.

Probabilita' contraria. La probabilita' che un evento NON accada e' 1 meno la probabilita' che accada. Quando il testo dice 'non', 'almeno uno', 'nessuno di...' conviene quasi sempre ragionare sul contrario, perche' il conteggio e' piu' semplice.

Quesito. Un cassetto contiene 18 magliette: 8 sono bianche, 5 sono nere e le rimanenti sono rosse. Estraendone una a caso, qual e' la probabilita' che NON sia nera? (A) 5/18 (B) 13/18 (C) 10/18 (D) 1/3

Svolgimento. Le magliette nere sono 5 su 18: la probabilita' che sia nera e' 5/18. La probabilita' che NON sia nera e' 1 - 5/18 = 13/18. Equivalente: le rosse sono 18 - 8 - 5 = 5, le non nere sono 8 bianche + 5 rosse = 13, e i casi possibili sono 18, quindi 13/18, risposta B. Il distrattore A e' la probabilita' dell'evento opposto, offerta di proposito a chi non legge il 'NON'.

Eventi incompatibili: la regola dell'OR. Se due eventi non possono accadere insieme (estraendo una carta, 'sette' e 'figura' non sono la stessa carta), la probabilita' che accada uno o l'altro e' la somma delle probabilita'. Si possono anche sommare direttamente i casi favorevoli, ed e' piu' sicuro.

Quesito. Da un mazzo di 40 carte napoletane si estrae una carta a caso. Qual e' la probabilita' che sia un sette oppure una figura (fante, cavallo, re; tre figure per seme)? (A) 1/5 (B) 2/5 (C) 3/10 (D) 7/40

Svolgimento. Il mazzo ha 4 semi da 10 carte. I sette sono 4. Le figure sono 3 per ogni seme, quindi 12. Nessun sette e' una figura: gli eventi sono incompatibili e i casi favorevoli sono 4 + 12 = 16. La probabilita' e' 16/40 = 2/5, risposta B. Il distrattore C (3/10 = 12/40) e' la sola probabilita' delle figure, senza i sette; il distrattore A (8/40) si ottiene contando solo otto carte invece di sedici.

Eventi NON incompatibili: attenzione ai casi contati due volte. Se i due eventi possono accadere insieme, la somma delle due probabilita' conta due volte i casi in comune. Si risolve elencando i casi favorevoli una sola volta. Con un dado a sei facce, 'esce un numero pari oppure maggiore di 4' non ha probabilita' 1/2 + 1/3: il 6 e' sia pari sia maggiore di 4.

Quesito. Lanciando un dado a sei facce numerate da 1 a 6, qual e' la probabilita' che esca un numero pari oppure maggiore di 4? (A) 5/6 (B) 2/3 (C) 1/2 (D) 1/3

Svolgimento. Esiti favorevoli, elencati una sola volta: pari = 2, 4, 6; maggiori di 4 = 5, 6. L'unione e' {2, 4, 5, 6}: quattro esiti su sei, quindi 4/6 = 2/3, risposta B. Sommare le due probabilita' (3/6 + 2/6 = 5/6) conta il 6 due volte: e' il distrattore A, il piu' scelto.

Eventi indipendenti: la regola dell'AND. Due eventi sono indipendenti quando il risultato del primo non cambia le condizioni del secondo (due lanci di moneta, due lanci di dado, estrazioni con reinserimento). La probabilita' che si verifichino entrambi e' il prodotto delle probabilita'. Un corollario importante: la moneta non ha memoria. Dopo una lunga serie di teste, la probabilita' che esca ancora testa e' sempre 1/2; la serie passata e' un fatto, non una forza che 'compensa'.

Quesito. Una moneta equilibrata viene lanciata tre volte. Qual e' la probabilita' di ottenere almeno una testa? (A) 1/8 (B) 1/2 (C) 7/8 (D) 3/4

Svolgimento. Il caso piu' semplice e' quello contrario: 'nessuna testa' significa tre croci di fila. Ogni lancio e' indipendente, con probabilita' di croce 1/2: 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8. La probabilita' di avere almeno una testa e' 1 - 1/8 = 7/8, risposta C. La risposta A e' la probabilita' del solo caso contrario: contiene il passaggio giusto ma manca il complemento a 1.

Quesito. Una moneta equilibrata ha dato croce sette volte di fila. Qual e' la probabilita' che al lancio successivo esca ancora croce? (A) 1/2 (B) 1/8 (C) 1/256 (D) piu' bassa di 1/2

Svolgimento. I lanci sono indipendenti: il risultato del prossimo non dipende da quelli passati. La probabilita' e' sempre 1/2, qualunque sia la serie precedente: risposta A. 1/8 o 1/256 sono le probabilita' di ottenere una serie di croci prima di lanciare; ma qui i sette lanci sono gia' avvenuti e conta solo l'ultimo. La sensazione che 'ora debba uscire testa' e' la cosiddetta fallacia del giocatore.

Estrazioni con e senza reinserimento. Se dopo ogni estrazione l'oggetto viene rimesso nell'urna, la composizione non cambia e gli eventi sono indipendenti: si moltiplicano le stesse probabilita'. Se l'oggetto NON viene rimesso, dopo la prima estrazione cambiano sia i casi favorevoli sia i casi possibili: la seconda probabilita' si calcola sull'urna ridotta. Il testo lo dice quasi sempre con 'senza rimetterla' o con 'successivamente', e va cercato.

Quesito. Un'urna contiene 5 palline rosse e 3 palline blu. Si estraggono due palline una dopo l'altra, senza rimettere la prima nell'urna. Qual e' la probabilita' che siano entrambe rosse? (A) 25/64 (B) 5/14 (C) 5/8 (D) 15/28

Svolgimento. Prima estrazione: 5 rosse su 8, probabilita' 5/8. Se la prima e' rossa, nell'urna restano 4 rosse su 7 palline: seconda probabilita' 4/7. Il prodotto e' 5/8 x 4/7 = 20/56 = 5/14, risposta B. Se la prima pallina fosse stata rimessa nell'urna, il risultato sarebbe 5/8 x 5/8 = 25/64: e' il distrattore A, per chi non coglie il 'senza rimettere'. Il distrattore C (5/8) ignora la seconda estrazione.

Urne gia' parzialmente svuotate. Alcuni quesiti (sorteggi in gironi, mazzi gia' pescati) precisano che qualche elemento e' gia' stato tolto prima della domanda. Si deve rifare il conto sugli elementi rimasti: sia il totale sia i casi favorevoli vanno aggiornati.

Quesito. In un sorteggio ci sono 12 palline gialle, 9 verdi e 4 rosse. Prima della domanda sono gia' state estratte e messe da parte 2 palline gialle. Estraendo ora a caso tra le palline rimaste, qual e' la probabilita' che esca una pallina verde o rossa? (A) 13/25 (B) 13/23 (C) 9/23 (D) 2/25

Svolgimento. Le palline totali sono 12 + 9 + 4 = 25; tolte 2 gialle ne restano 23, di cui 10 gialle, 9 verdi e 4 rosse. Le verdi o rosse (eventi incompatibili) sono 9 + 4 = 13. La probabilita' e' 13/23, risposta B. Il distrattore A (13/25) dimentica di togliere le due gialle gia' estratte dal denominatore. Si puo' anche calcolare per via contraria: 1 - 10/23 = 13/23.

'Ne' l'una ne' l'altra': si sommano i colori restanti. Quando il testo chiede la probabilita' che l'oggetto non sia di certi colori, si contano gli oggetti degli altri colori e si divide per il totale. Non si moltiplicano le due probabilita' del 'non': i due eventi non sono estrazioni successive, sono due condizioni sullo stesso oggetto.

Quesito. Una busta contiene 6 biglie rosse, 3 gialle, 2 verdi e 1 bianca. Estraendo una biglia a caso, qual e' la probabilita' che non sia ne' rossa ne' gialla? (A) 1/4 (B) 3/4 (C) 1/2 (D) 1/12

Svolgimento. Le biglie sono 6 + 3 + 2 + 1 = 12. Quelle che non sono ne' rosse ne' gialle sono le verdi e la bianca: 2 + 1 = 3. Probabilita' 3/12 = 1/4, risposta A. Il distrattore B (3/4) e' la probabilita' contraria, cioe' che sia rossa o gialla (9/12).

11.7 Calcolo combinatorio elementare: contare senza elencare

Il calcolo combinatorio risponde alla domanda 'in quanti modi?'. Alla base di tutto c'e' il principio moltiplicativo: se una scelta si fa in a modi e, per ciascuno di essi, la scelta successiva si fa in b modi, le scelte consecutive sono a x b. Da questo principio e da due domande diagnostiche si derivano tutti i casi dei quesiti: l'ordine conta? e sono ammesse ripetizioni?

Nei quesiti la cosa piu' importante e' la domanda: 'una volta scelti gli elementi, scambiarli tra loro cambia il risultato?' Se si': l'ordine conta. Se no (una squadra, una commissione, una stretta di mano): l'ordine non conta, e si divide per le permutazioni dei k elementi scelti.

Quesito. Quanti numeri di tre cifre si possono formare con le cifre 1, 3, 5 e 7, ammettendo che le cifre si ripetano? (A) 12 (B) 24 (C) 64 (D) 81

Svolgimento. Per ogni posizione (centinaia, decine, unita') si puo' scegliere una qualunque delle 4 cifre, indipendentemente dalle altre, perche' le ripetizioni sono ammesse. Per il principio moltiplicativo: 4 x 4 x 4 = 64, risposta C. Il 24 (4 x 3 x 2) e' il conteggio senza ripetizioni e il 12 (4 x 3) e' quello di numeri a due cifre senza ripetizioni: distrattori da errata lettura di 'ammettendo ripetizioni'.

Permutazioni e anagrammi. Un anagramma di una parola e' qualsiasi riordino delle sue lettere, anche senza senso. Con n lettere tutte diverse gli anagrammi sono n! (n fattoriale, il prodotto dei numeri da 1 a n): per la prima posizione ci sono n scelte, per la seconda n - 1, e cosi' via. Con lettere ripetute il risultato va diviso per k! per ogni lettera ripetuta k volte, perche' scambiare tra loro due lettere uguali non produce una parola nuova.

Quesito. Quanti sono gli anagrammi, anche senza senso compiuto, della parola FIUME? (A) 25 (B) 60 (C) 120 (D) 240

Svolgimento. FIUME ha cinque lettere tutte diverse, quindi gli anagrammi sono 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120, risposta C. Il distrattore 25 e' 5 x 5 (cinque scelte per ciascuno dei cinque posti, come se le lettere si potessero ripetere); il 240 e' il doppio di quello giusto.

Quesito. Quanti sono gli anagrammi, anche senza senso compiuto, della parola ANANAS? (A) 720 (B) 360 (C) 60 (D) 120

Svolgimento. ANANAS ha sei lettere ma non tutte diverse: la A compare 3 volte, la N 2 volte, la S una volta. Se fossero tutte diverse gli anagrammi sarebbero 6! = 720. Siccome le tre A sono indistinguibili, le 3! = 6 maniere di scambiarle producono la stessa parola; analogamente le 2! = 2 maniere di scambiare le N. Dunque 720 : (6 x 2) = 60, risposta C. Il 720 e' il distrattore da dimenticanza delle lettere ripetute.

Strette di mano, partite, coppie: l'ordine non conta. Se n persone si stringono la mano una sola volta ciascuna (A con B e' la stessa stretta di B con A), le coppie possibili sono n x (n - 1) diviso 2. Ragionamento: ognuno stringe la mano a tutti gli altri (n - 1 strette), ma cosi' ogni stretta e' contata due volte, una per ciascun protagonista. Lo stesso schema vale per le partite di un campionato disputate in gara unica.

Quesito. A una riunione partecipano 9 persone e ciascuna stringe la mano a ciascuna delle altre una sola volta. Quante strette di mano ci sono in totale? (A) 81 (B) 72 (C) 36 (D) 18

Svolgimento. Ogni persona stringe la mano a 8 altre: 9 x 8 = 72 conteggi, ma ogni stretta coinvolge due persone ed e' contata due volte. Si divide per 2: 72 : 2 = 36, risposta C. Lo stesso numero si ottiene con le combinazioni di 9 elementi a 2 a 2: (9 x 8) : (2 x 1) = 36. Il 72 e' il distrattore di chi dimentica di dividere; l'81 di chi usa 9 x 9.

Quesito. Un'associazione di 7 soci deve scegliere 3 rappresentanti. In quanti modi puo' farlo se i tre scelti hanno tutti lo stesso ruolo? E in quanti modi se invece devono ricoprire tre cariche diverse (presidente, vice, segretario)? Indicare nell'ordine i due risultati. (A) 35 e 210 (B) 210 e 35 (C) 21 e 42 (D) 343 e 35

Svolgimento. Con tre cariche diverse l'ordine conta: 7 scelte per il presidente, 6 per il vice, 5 per il segretario, 7 x 6 x 5 = 210. Se invece i tre hanno lo stesso ruolo, lo stesso gruppo di tre persone e' stato contato 3! = 6 volte (una per ciascun ordine): 210 : 6 = 35. Nell'ordine richiesto (stesso ruolo, cariche diverse) i risultati sono 35 e 210: risposta A. La risposta B inverte i due casi; la risposta D usa 7 x 7 x 7 = 343, che ammetterebbe che una stessa persona ricopra piu' cariche.

Quesito. Sei squadre disputano un girone con partite di andata e ritorno: ogni squadra incontra ogni altra due volte, una in casa e una in trasferta. Quante partite si giocano in totale? (A) 15 (B) 30 (C) 36 (D) 12

Svolgimento. Ogni squadra gioca in casa contro le altre 5: 6 x 5 = 30 partite. E' un caso in cui l'ordine conta (la coppia casa-trasferta e' ordinata). Se il girone fosse di sola andata, le partite sarebbero la meta' (30 : 2 = 15, cioe' le combinazioni di 6 elementi a 2 a 2): la risposta A e' il distrattore da scambio tra 'ordine conta' e 'ordine non conta'.

11.8 Ripartizioni in parti uguali e ricollocazioni

Alcuni quesiti sembrano di probabilita' o di combinatoria e invece sono semplici divisioni in parti uguali nascoste in un racconto: le quote di una cena, i barattoli su uno scaffale. La difficolta' e' separare la parte uguale per tutti dalla parte che spetta solo a qualcuno: si toglie dal totale la parte particolare e solo dopo si divide.

Quesito. Quattro amici pagano insieme una cena: il totale e' 92 euro. Tre di loro hanno preso anche un limoncello da 4 euro ciascuno; escluso il limoncello, tutti e quattro hanno speso la stessa cifra. Quanto ha speso ciascuno senza contare il limoncello? (A) 20 euro (B) 23 euro (C) 24 euro (D) 19 euro

Svolgimento. I tre limoncelli costano 3 x 4 = 12 euro. Il resto, 92 - 12 = 80 euro, e' stato speso in parti uguali dai quattro amici: 80 : 4 = 20 euro a testa, risposta A. Il distrattore B (23 euro) e' 92 : 4, che divide l'intero totale (limoncelli compresi) per quattro, senza togliere la parte che non e' uguale per tutti.

Quesito. Una credenza ha 9 ripiani. Disponendo 12 barattoli per ripiano, si riempiono completamente solo i primi 6 ripiani. Se si volessero riorganizzare gli stessi barattoli occupando tutta la credenza con lo stesso numero di barattoli su ogni ripiano, quanti ne servirebbero per ripiano? (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12

Svolgimento. I barattoli sono 12 x 6 = 72. Riorganizzandoli su tutti i 9 ripiani, con lo stesso numero ciascuno: 72 : 9 = 8 barattoli per ripiano, risposta B. Si nota che 72 e' divisibile per 9 (somma cifre 9): il conto torna senza resti, come deve essere. Il distrattore 12 e' il dato di partenza lasciato inalterato; il 6 e' il numero di ripiani gia' pieni.

11.9 Riepilogo operativo e trappole ricorrenti

• Divisibilita': tenere a memoria i criteri 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12; quelli composti si ottengono con due condizioni separate su numeri senza fattori comuni (3 e 4 per il 12). Nei quesiti a punti si sommano tutti i criteri soddisfatti.
• Numeri primi: si provano i primi fino alla radice del numero. Il distrattore classico e' un composto che resiste ai criteri 2, 3 e 5 (91 = 7 x 13).
• MCM per 'quando si ripresentano insieme', MCD per 'dividere in parti uguali senza avanzi'. Il prodotto dei due numeri e' un multiplo comune ma quasi mai il minimo.
• Resto e cicli: resto 1 e' il primo elemento del ciclo, resto 0 e' l'ultimo. Il giorno di partenza non si conta.
• Lettere al posto delle cifre: la parita' dipende solo dall'ultima lettera; il numero di lettere e' il numero di cifre; nei prodotti basta un fattore pari, nelle somme due dispari danno un pari.
• Probabilita': casi favorevoli su casi possibili, sempre ricontati dopo ogni estrazione senza reinserimento. 'Non' o 'almeno' si fanno al contrario con 1 meno. Eventi non incompatibili: i casi in comune si contano una volta sola. Moneta e dado non hanno memoria.
• Combinatorio: prima la domanda 'l'ordine conta?', poi 'sono ammesse ripetizioni?'. Anagrammi con lettere ripetute: si divide per il fattoriale di ciascuna ripetizione. Stretta di mano: n x (n-1) diviso 2.
• Gestione del tempo: questi quesiti sono tra i piu' rapidi della prova se si riconosce il tipo; individuato lo schema non servono piu' di venti-trenta secondi. Se un conto sembra enorme, si e' quasi certamente scelto lo strumento sbagliato.

9.1 Il tempo e il ritmo

Sessanta quesiti su piu' materie impongono una regola aritmetica prima ancora che logica: il tempo disponibile diviso il numero di quesiti da' il tempo medio per item, e quel numero va conosciuto prima di entrare in aula, perche' e' l'unico parametro con cui giudicare se si e' in ritardo. La gestione corretta non e' "vado veloce", e' gestire la varianza: alcuni quesiti si chiudono in dieci secondi, altri ne richiederebbero tre minuti, e il compito e' impedire che i secondi mangino il tempo dei primi.

Il modo pratico per farlo e' la lettura a due passate. Nella prima passata si percorre l'intero questionario rispondendo solo a cio' che si risolve subito e marcando con un segno gli item che richiedono lavoro. Nella seconda si tornano a prendere i marcati, con il vantaggio enorme di sapere quanti sono e quanto tempo resta per ciascuno. Questo evita lo scenario peggiore, quello di chi si incaglia al quesito numero otto e lascia in bianco quindici item finali che avrebbe risolto in trenta secondi l'uno.

9.2 Quando saltare

La regola operativa e' semplice: se dopo la lettura del testo e uno sguardo alle opzioni non si vede una via, si salta e si marca. Non si continua a fissare il quesito sperando che si apra. Il segnale di allarme e' la sensazione di "rileggere per la terza volta senza aver capito che cosa chiede": in quel momento il costo marginale del tempo speso supera il beneficio atteso. Si salta anche quando un quesito di incastro richiede una tabella completa e siamo nella prima passata: quei quesiti si risolvono, ma vanno affrontati con il tempo dedicato della seconda passata, non a rubare minuti alla scansione iniziale.

9.3 Scartare due opzioni in pochi secondi

Anche quando non si sa risolvere, quasi mai si e' davanti a quattro opzioni equiprobabili. Alcuni criteri di eliminazione costano pochissimo e vanno applicati sistematicamente.

• Il controllo dell'ordine di grandezza. Nei quesiti numerici si fa una stima grossolana - arrotondando tutto - e si eliminano le opzioni troppo grandi o troppo piccole. Nel problema di lavoro visto sopra, ogni opzione superiore al tempo del piu' veloce e' automaticamente esclusa: due opzioni cadono senza calcoli.
• La coppia contraddittoria. Se due opzioni affermano una l'esatto contrario dell'altra, molto spesso la risposta corretta e' una delle due, perche' il redattore ha costruito il quesito attorno a quella distinzione. Non e' una certezza, ma sposta la probabilita' in modo apprezzabile e permette di concentrare il ragionamento residuo su due sole alternative.
• Il quantificatore estremo. Nei quesiti di deduzione e di ragionamento critico, le opzioni che contengono "sempre", "mai", "tutti", "nessuno", "esclusivamente" sono piu' fragili di quelle che contengono "almeno uno", "alcuni", "puo'", perche' basta un controesempio per abbatterle. Il criterio va usato con giudizio - a volte l'universale e' proprio la risposta - ma come tie-break tra due opzioni superstiti e' un buon indicatore.
• La riformulazione fedele. Nei quesiti "che cosa si deduce", l'opzione che si limita a riscrivere con altre parole quanto il testo dice e' spesso corretta proprio perche' sembra troppo ovvia, mentre le opzioni che aggiungono cause, previsioni o valutazioni sono quasi sempre errate. Diffidare della propria insoddisfazione: in logica deduttiva la risposta giusta e' la piu' modesta, non la piu' interessante.
• L'opzione fuori tema. Almeno un distrattore su quattro e' tipicamente costruito su un termine che nel testo non compare affatto, o riguarda un soggetto diverso da quello della domanda. Si elimina alla prima lettura, senza ragionare.

9.4 Rispondere o lasciare in bianco

La scelta dipende interamente dal sistema di punteggio previsto dal bando e dal diario di prova, che va letto con attenzione perche' cambia da concorso a concorso: alcune preselezioni penalizzano la risposta errata, altre attribuiscono zero sia all'errore sia all'omissione. Il criterio razionale e' questo: se l'omissione e la risposta sbagliata valgono lo stesso, non si lascia mai nulla in bianco, perche' rispondere e' gratuito. Se invece l'errore e' penalizzato piu' dell'omissione, si risponde solo quando si e' riusciti a eliminare almeno una o due opzioni, perche' a quel punto il valore atteso della risposta diventa positivo. Rispondere completamente a caso, in presenza di penalita', e' una perdita statistica.

9.5 Il punto piu' importante: passare, non massimizzare

Torniamo al dato di partenza. La preselettiva dell'art. 6 ammette alla prova scritta un numero di candidati pari al doppio dei posti, piu' gli ex aequo, e il suo punteggio non concorre alla graduatoria finale. La conseguenza psicologica va interiorizzata prima del giorno della prova: l'obiettivo non e' fare il punteggio piu' alto della sala, e' entrare nella fascia degli ammessi. Chi insegue la perfezione su un singolo quesito difficile sta scambiando un punto incerto con tre punti facili non raggiunti, e questo e' il modo piu' comune di non passare pur sapendo le cose.

La traduzione operativa e': coprire tutte le materie invece di eccellere in una, chiudere per primi i quesiti a resa alta - le serie numeriche riconoscibili, i condizionali, i calcoli percentuali - e trattare i quesiti lunghi come una riserva da attaccare solo con il tempo residuo. Un candidato che risponde correttamente a tutti i quesiti che sa fare e lascia perdere i tre piu' contorti passa; un candidato che risolve brillantemente i tre piu' contorti e arriva a fine tempo con dodici item non letti, no.

9.6 Come allenarsi nelle settimane precedenti

L'allenamento efficace ha tre caratteristiche. Deve essere a tempo fin dall'inizio, perche' risolvere un quesito senza limiti di tempo allena un'abilita' che alla prova non serve. Deve essere per famiglie nella prima fase: venti serie numeriche di fila, poi venti condizionali, poi venti incastri, perche' e' la ripetizione ravvicinata a fissare il riconoscimento dello schema. Deve diventare misto e cronometrato nella fase finale, con simulazioni complete che riproducano la distribuzione reale tra le materie, perche' la capacita' di cambiare rapidamente registro tra un quesito di logica e uno di informatica e' essa stessa un'abilita' da allenare.

Infine, l'unica pratica che produce miglioramenti misurabili e' la revisione degli errori. Per ogni quesito sbagliato va scritta in una riga la ragione dell'errore: ho convertito illecitamente un "tutti", ho affermato il conseguente, ho sommato due variazioni percentuali, ho mediato due medie, ho scelto l'opzione plausibile invece di quella deducibile. Dopo poche settimane quella lista si rivela cortissima e ripetitiva: ciascuno sbaglia sempre negli stessi tre o quattro modi, e conoscere i propri tre modi vale piu' di qualunque manuale.